整式乘除与因式分解
一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：
am·an＝amn （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a)2(－3a2)3
＋
2．?a?
3．?ab??ab （n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a2b)3
nnnmn＝ amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a5)5
练习：
（1）5x3?2x2y （2）?3ab?(?4b2) （3）3ab?2a
（4）yz?2y2z2 （5）(2x2y)3?(?4xy2) （6）ab?6abc?(?ac)
mn－
4．a?a＝ amn （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
1335222同底数幂相除，底数不变，指数相减．
例：（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2
5 752
（4）（-a）÷（-a）（5） (-b) ÷(-b)
5．零指数幂的概念：
a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l． 例：若(2a?3b)?1成立，则a,b满足什么条件？
01p－
6．负指数幂的概念：ap＝a （a≠0，p是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．
?n???也可表示为：?m??p?m?????n?（m≠0，n≠0，p为正整数）
p7．单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例：（1）3ab?2abc?211abc2 （2）(?m3n)3?(?2m2n)4 328．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
1
2例：（1）2ab(5ab2?3a2b) （2）(ab?2ab)?231ab 2（3）(-5m2n)?(2n?3m?n2) （4）2(x?y2z?xy2z3)?xyz
9．多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1）（1?x）(0.6?x) （2）(2x?y)(x?y) （3）（?2m?n)2 练习：
1．计算2x 3·(－2xy)(－
1xy) 3的结果是 2
2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝
3．若n为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为 5．－[－a 2(2a 3－a)]＝
4．如果(a nb·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn的值是
6．(－4x 2＋6x－8)·(－
12
x )＝ 2 7．2n(－1＋3mn 2)＝ 8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，则k＝ 9．(－3x 2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝ 10．在(ax 2＋bx－3)(x 2－
1x＋8)的结果中不含x 3和x项，则a＝ ，b＝ 2
，体积为 。
11．一个长方体的长为(a＋4)cm，宽为(a－3)cm，高为(a＋5)cm，则它的表面积为 12．一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 了
10．单项式的除法法则：
。
，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3
11．多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 例： 练习： 1．计算： （1）?33423122?3?xyz?xy； （2）?2x2y???x2y2?； 77?2?(1)(3x2y?6xy)?6xy(2)(5a3b?10a2b2?15ab3)?(?5ab)??
2
（3）16?a?b??4?a?b?． （4）4x3y2n62?????2xy?
2n3（5）4?109??2?103
2．计算：
????1?1??2??1??1?（1）16x3y3?x2y3???xy?； （2）?x2y???x2y????xy?
2?2??5??2??5??5??1?（3）??an?1b2????anb2??2??4?
3．计算：
（1）4?x?y??x?y??6?y?x???x?y?； （2）16?a?b??a?b???a?b??a?b?．
543223323?2????anbn? ?5?2?????65??3?2
4.若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 则 a = , m = ,= ;
易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误； 有关多项式的乘法计算出现错误； 误用同底数幂的除法法则；
用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错； 乘除混合运算顺序出错。
12．乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． ②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． 例1： （1）(7+6x)(7?6x)； （2）(3y ＋ x)(x?3y)； （3）(?m＋2n)(?m?2n)． 例2： (1) (x+6) (2) (y-5) (3) (-2x+5)
3
2
2
2
练习： 1、?a?54?3222323?x(xy)?2(xy)?(?xy)＝______________。 ???a2?=_______。???32、6a4b3?12a3b4?8a3b2?2a3b2（_____________________）
3、x2?____?9y2?(x?_____)2；x2?2x?35?(x?7)（______________）
111??34、已知x??5，那么x?3=_______；?x??=_______。
xxx??5、若9x2?mxy?16y2是一个完全平方式，那么m的值是__________。 6、多项式x3?x2,x2?2x?1,x2?x?2的公因式是_____________________。
2x3?__________________________。 7、因式分解：8?2712n?____________________________。 49、计算：0.131?8?0.004?8?0.002?8?_____________________。
2210、x?y?x?y?(x?y)?A，则A=_____________________
28、因式分解：4m?2mn?
易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。
13．因式分解（难点） 因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
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