虽已存在很多年，但围绕它所产生的各种证明的随之而来的附产品却一直层出不穷。
例如：在一个给定的直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方
或者说：以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积,如图5.
现在让我们在后一种形式的基础上，做一些比较，用其他几何图形取代直角边和斜边上的正方形来验证一下这条定理是否依然成立。来看一下换成半圆后的结果(如图6)，是不是类似的形状都有这个性质呢？ 设圆A，B,C的直径分别为a,b,c,则有： a2?a2圆A的面积：?()?
24b?b圆B的面积：?()2?
24c2?c2圆C的面积：?()? 242222CCAABB总面积：
(a?b)?c?图6 ? 44 这说明直角三角形中，以两直角边为直径的圆的面积和等于以斜边为直径的圆的面积。该内容出现在义务教育课程标准实验教科书，北京师范大学出版社《数学》八年级上册第一章“勾股定理”的复习题中，由勾股定理推知圆的面积相等的方法新颖独特加上与勾股定理的相关内容的介绍，将能是学生对学习勾股定理产生浓厚的兴趣。
3.无理数的发现。毕达哥拉斯学派是以古希腊天文学家、哲学家、数学家毕达哥拉斯（Pythagoras,约前580-约前500）为代表的一个学派，该学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机。因为毕达哥拉斯学派有一个信条：“万物皆数”，也就是说“宇宙间所有的现象都可以归结为整数或整数之比”，即所有现象都可用有理数来描述。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派一个名叫希伯索斯（Hippasus）的成员发现了边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示。[7]这个发现使毕达哥拉斯学派的信
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条产生了动摇，信徒们因此而惊恐万分。据说，希伯索斯也因此被他们抛入大海，他宝贵的生命就这样为真理牺牲了。但真理是永远无法战胜的，后来， 希伯索斯的发现终于被希腊人所正视，并给出了进一步的证明。 假设边长为以1的正方形的对角线的长可写成两个整数p,q的比互质)，于是有
p (p,qq(p2)?222p?2qq ， ，
2222p?2mp?4m?2qp因此是偶数，p是偶数。于是可设,那么 ,
q2?2m2 .这就是说，q2是偶数，q是偶数. 这与“p, q是互质的两个整数”
的假设矛盾。
从无理数的发现可以看出无理数并不“无理”，无理数是无限不循环小数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映。
此部分内容出现在义务教育课程标准实验教科书 《数学》八年级上册第二章第1小节“数怎么又不够用了”后的“读一读”。通过对此部分内容的阅读与思考，可以是学生了解到数学知识的来龙去脉，同时加深学生对无理数的认识与理解，也提高了学生学习数学知识的兴趣与热情。
4．耐人寻味的0.618。古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约前400-前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？即如果错误！未找到引用源。 ,那么称线段错误！未找到引用源。被点C黄金分割。
AAC图7 BC B
这就是黄金分割问题，这个相等的比就是(错误！未找到引用源。-1)/2=0.618 033 988 749 89……。天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571-1630）把这种分割线段的方法称为圣神分割，并指出，“毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉 ”。历史上最早正式在书
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中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆（Martin Ohm,1792-1872）.19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来。
0.618，一个神秘而迷人的数字，它有着一个动听的名字——黄金分割率,在很长一段时期里，人们对黄金分割十分崇拜。一直以来，这个数字都被后人奉为科学和美学的金科玉律。艺术史上很多杰出的作品都与黄金分割率不谋而合，无论是中国古代的兵马俑，还是古希腊帕特农神庙，它们的水平线与垂直线之间竟然完全符合0.618比1的比例。 此外，它还有许多奇妙的性质和应用。例如，矩形物件（如窗户、书本）外形的宽与长之比如果满足黄金分割比就会使人感到赏心悦目、美观大方。在中世纪，黄金分割被作为美的象征几乎渗透到了建筑和艺术的各个部分。据说，如果人体雕塑的上半身和下半身的长度满足黄金分割比，就最为匀称、优美。人们认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。现今有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上有五角星。古希腊毕达哥拉斯学派将徽章或标志做成五角星，他们称之为“健康”，由此可看出五角星形的作法已被毕达哥拉斯熟知，同时他也掌握了黄金分割的方法。现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。此外，对“黄金分割”的神秘性附会的现象也是存在的。
该内容出现在义务教育课程标准实验教科书，北京师范大学出版社《数学》八年级下册第四章《相似图形》的第2小部分，它是由线段的比引出的，通过讲述有关黄金分割的知识有利于培养学生的审美意识，体现数学在生活中的实际运用价值，使学生在现实生活中欣赏、感知、体会数学的内在美。 (三).与高中学数学教材中部分知识相关的数学故事及其教学作用
1.国际象棋与等比数列。相传国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的。据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏。国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情。国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐。宰相说：“我想要点麦子，请
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您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒，然后是16粒，32粒，……即后一个格子里所放的麦粒数目是前一个格子所放的麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止，您把六十四格内的麦粒总和赏给我，这样我就很满足了。国王想：“我堂堂一国之君，难道还满足不了你这个微不足道的要求？” 于是便慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？把计算结果直接写出来就是18,446,744,073,709,551,615粒，这些麦粒若以重量估算，约为5270亿吨。这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，使他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
那么故事中出现的：18,446,744,073,709,551,615这个庞大的数字到底是如何计算出来的呢？
通过观察：1, 2, 4，8，……263 这组数据，我们可以发现它完全符合等比数列的性质，该数列是以1为首项，2为公比的等比数列。因此我们可以等比数列的前n项和公式来解答，即求数列的前64项和：
S 64?1?2?2?2?2?2341?(1?2)64?2??2?1 。
1?26364该内容同时也出现在义务教育课程标准实验教科书北师大版《数学》七年级上册的第二章“有理数及其运算”的第10小节“有理数的乘方”中的读一读, 教师可以通过讲述“国际象棋”的故事让同学们加深对有理数的乘方的认识，同时为以后学习等比数列的相关知识埋下伏笔；“国际象棋”的故事也可以用高中部分“等比数列的前n项和公式”的导入部分。选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同。通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。其次,可将学生的角色设计成国王的谋士，更加激发了学生的探究热忱。最后,通过让学生大胆预测麦粒的重量产生悬念,在公式推导后让学生运用公
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