专题12平面解析几何解答题
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1．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程； （2）若
3
，求|AB|．
【解答】解：（1）设直线l的方程为y设A（1，y1），B（2，y2）， 则1+2
2t
，①，12＝t2②，
（﹣t），将其代入抛物线y2＝3得：2﹣（t+3）t2＝0，
由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝1+2+p＝2t直线l的方程为y
．
4，解得t，
（2）若3
，则y1＝﹣3y2，∴（1﹣t）＝﹣3（2﹣t），化简得1＝﹣32+4t，③
由①②③解得t＝1，1＝3，2∴|AB|
，
．
2．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：M的坐标为（2，0）．
（1）当l与轴垂直时，求直线AM的方程；
y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB． 【解答】解：（1）c∴F（1，0）， ∵l与轴垂直， ∴＝1， 由
，解得
或
，
1，
∴A（1.），或（1，），
∴直线AM的方程为y，y，
证明：（2）当l与轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，
当l与轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝（﹣1），≠0， A（1，y1），B（2，y2），则1
，2
，
，
，
直线MA，MB的斜率之和为MA，MB之和为MA+MB由y1＝1﹣，y2＝2﹣得MA+MB将y＝（﹣1）代入∴1+2
，12
y2＝1可得（22+1）2﹣42+22﹣2＝0， ，
（43﹣4﹣123+83+4）＝0
∴212﹣3（1+2）+4从而MA+MB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补， ∴∠OMA＝∠OMB， 综上∠OMA＝∠OMB．
3．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1，
），P4（1，
）中恰有三点在椭圆C上．
1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1）， ∴P2（0，1），P3（﹣1，把P2（0，1），P3（﹣1，
），P4（1，
）三点在椭圆C上．
），P4（1，
）两点必在椭圆C上，
）代入椭圆C，得：
，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：＝m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1， ∴
1，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l：y＝+t，（t≠1），A（1，y1），B（2，y2）， 联立
，整理，得（1+42）2+8t+4t2﹣4＝0，
，12，
则
1，又t≠1，
∴t＝﹣2﹣1，此时△＝﹣64，存在，使得△＞0成立， ∴直线l的方程为y＝﹣2﹣1， 当＝2时，y＝﹣1， ∴l过定点（2，﹣1）．
4．【2016年新课标1理科20】设圆2+y2+2﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：圆2+y2+2﹣15＝0即为（+1）2+y2＝16， 可得圆心A（﹣1，0），半径r＝4， 由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD， 由AC＝AD，可得∠D＝∠C， 即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED， 则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4， 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b
，
则点E的轨迹方程为（Ⅱ）椭圆C1：
1（y≠0）； 1，设直线l：＝my+1，
由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（﹣1）， 由
可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设M（1，y1），N（2，y2）， 可得y1+y2
，y1y2
，
则|MN|
?|y1﹣y2|?
?
A到PQ的距离为d
12?，
，
|PQ|＝22，
则四边形MPNQ面积为S|PQ|?|MN|??12?
＝24?24，
当m＝0时，S取得最小值12，又0，可得S＜24?
）．
8，
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8
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