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又
???7??1x?[0,] ?2x??[,] ?sin(2x?)?[?,1]
266662??函数f?x?在区间[0,]上的最大值为2，最小值为?1
2?6?3(2)f?x0??2sin(2x0?)? ?sin(2x0?)?
6565???2?7?又x0?[,] ?2x0??[,]，
42636?cos(2x0???4)??1?sin2(2x0?)??. 665??????3?43 10cos2x0?cos[(2x0?)?]?cos(2x0?)cos?sin(2x0?)sin?66666618.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面ACE?平面ABCD，四边形ABCD为平行边形，?ACB?90oEF//BC，
FEADAC?BC?2，AE?EC?1. (1)求证：AE?平面BCEF； (2)求三棱锥D?ACF的体积．
解：(1)∵平面ACE?平面ABCD，且平面ACEBC平面ABCD?AC
?BC?AC BC?平面BCEF ?BC?平面AEC
AE?平面AEC?BC?AE，
AC?2,AE?EC?1 ?AC2?AE2?CE2
?AE?EC 且BCEC?C?AE?平面ECBF．
(2)设AC的中点为G，连接EG，?AE?CE ?EG?AC ∵平面ACE?平面ABCD，且平面ACE平面ABCD?AC，
?EG?平面ABCD
(法二：由(1)可知BC?平面AEC，?EG?平面AEC
?BC?EG，又ACBC?C
?EG?平面ABCD．?EF//BC，EF??平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距
离就等于点E到平面ABCD的距离,即点F到平面ABCD的距离为EG的长,
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1?VD?ACF?VF?ACD?VE?ACD?s?ACDEG
3?S?ACD?1211 ?VD?ACF?1?1?2?2 AC?AD??2?2?1 EG?AC?226222326 即三棱锥D?ACF的体积为．
19.(本小题满分12分)为了解某市的交通状况，现对其中的6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
(1)
评估的平均得分 (0,6) [6,8) [8,10] 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀 求本次
评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；
(2)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
1解（1）6条道路的平均得分为(5?6?7?8?9?10)?7.5.
6 ∴该市的总体交通状况等级为合格.
（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.
从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：(5,6)，(5,7)，(5,8)，
(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本事件．
事件A包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)共7个基本事件，∴P(A)?7． 157. 15答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
20.设直线l0过抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点且与抛物线分别相交于A0,B0两
3点，已知A0B0?6,直线l0的倾斜角?满足sin??。
3（1）求抛物线C的方程；
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（2）设N是直线l:y?x?4上的任一点，过N作C的两条切线，切点分别为A,B试证明直线AB过定点，并求该定点的坐标。
，
解：（1）抛物线C的方程为：x2?4y（利用焦点弦长公式或韦达定理均可）。 （2）设N(x0,y0)是直线l:y?x?4上任意一点，过N作抛物线的切线分别为
l1,l2，切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则l1的方程为：xx1?2(y?y1) ① l2的方程为：l2:xx2?2(y?y2) ②
因为l1,l2都过N(x0,y0)点，所以有x0x1?2(y0?y1)， ③
x0x2?2(y0?y2) ④
③和④表示A,B两点均在直线x0x?2(y0?y)，
即直线AB的方程为：x0x?2(y0?y)，又y0?x0?4，所以：x0x?2(x0?4?y)， 所以直线AB的方程可化为：x0(x?2)?(?2y?8)?0，即直线AB恒过(2,4)点。 (注：有关求切线方程问题若学生用其他方法且正确也予以给分，如导数的方法等，这也正是本题考查的意图之一)
21.（本小题满分12分）已知函数f(x)?ex?ax，g(x)?exlnx(e是自然对数的底数）.
(1)若对于任意x?R，f(x)?0恒成立，试确定负实数a的取值范围； (2)当a??1时，是否存在x0?(0,??)，使曲线C:y?g(x)?f(x)在点x?x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由.
解：（1）f'(x)?ex?a，当a?0时令f'(x)?ex?a?0，得x?ln(?a)， 当x?(?,?,ln(?a))时，f'(x)?0，当x?(ln(?a),??)时，f'(x)?0， 故f(x)在(??,ln(?a))上是单调递减，在(ln(?a),??)上是单调递增, 所以[f(x)]min?f(ln(?a))??a?aln(?a)?0,?a??e,又a?0，?a?(?e,0)，
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综上：a的取值范围是(?e,0).
（2）当a??1时，由（2）知[f(x)]min?f(ln(?a))??a?aln(?a)?1， 设h(x)?g(x)?f(x)?exlnx?ex?x，
11则h/(x)?exlnx?ex??ex?1?ex(lnx??1)?1，
xx假设存在实数x0?(0,??)，使曲线C:y?g(x)?f(x)在点x?x0处的切线斜率与
f(x)在R上的最小值相等，x0即为方程的解，
11?1)?0，因为ex?0， 所以lnx??1?0. xx111x?1令?(x)?lnx??1，则?'(x)??2?2 ，
xxxx令h'(x)?1得：ex(lnx?当0?x?1是?'(x)?0，当x?1时?'(x)?0，
1?1在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增， x1??(x)??(1)?0,故方程 ex(lnx??1)?0有唯一解为1，
x所以?(x)?lnx?所以存在符合条件的x0，且仅有一个x0?1.
四、选做题（请考生在第22、23题中任选一题做答,做答时请写清题号。） 22.坐标系与参数方程（本小题满分10分）.在极坐标系下，曲线C的极坐标方程为?2?3?，点R(22,)
1?2sin2?4（1）若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，，且长度单位相同，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点P为曲线C上一动点，矩形PQRS以PR为其对角线，且矩形的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时点P的坐标。 解：(1)由 x??cos?,y??sin?代入到曲线C的极坐标方程?2?有：?2?2?2sin2??3，即x2?3y2?1为曲线C的普通方程。
（2）设P(3cos?,sin?)，则Q(2,sin?)，则PQ?2?3cos?,RQ?2?sin?
3中21?2sin???所以PQ?RQ?4?2sin(??)，当??时(PQ?RQ)min?2
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31所以矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的坐标为P(,)。
2223.选修4—5：不等式选讲(本小题满分10分) 设函数f(x)?2x?4?5?x的最大值为M. (1)求实数M的值；
(2)求关于x的不等式x?1?x?2?M的解集.
解:（1）f(x)?2x?2?5?x?2?1?(x?2)?(5?x)?3 当且仅当x?4 时等号成立。 故函数f(x)的最大值M?3
（2）由绝对值不等式可得：x?1?x?2?(x?1)?(x?2)?3， 所以不等式x?1?x?2?3的解即为方程x?1?x?2?3的解。 （或写成[?2,1]亦可） x?1?x?2?M的解集为{x?2?x?1} 。
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