专题六 应用题
[江苏卷5年考情分析]
“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的立意之本，而应用能力的考查又是近几年高考考查的重点．考查实际问题背景下的数学建模是江苏卷几年不变的题型．所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索是复习的关键．
应用题的载体很多，前几年主要考查函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题，以往有一次函数模型(条件不等式模型)．有先构造函数再利用导数求解(2015年、2016年)，演变为立体几何模型(2016年、2017年)；近两年三角模型走红(2018年、2019年)．考查利用三角知识、导数、直线与圆等知识综合建模与求解能力，难度中等．
题型(一) 函数模型的构建及求解 主要考查以构建函数模型为背景的应用题，一般常见于经济问题或立体 几何表面积和体积最值问题中. [典例感悟]
[例1] (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ [解] (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8. 因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
23V锥＝·A1B21·PO1＝×6×2＝24(m)；
1
313
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m)．
3
1
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m， 则0＜h＜6，O1O＝4h.连结O1B1. 因为在Rt△PO1B1中，
22
O1B21＋PO1＝PB1，
?2a?22所以??＋h＝36，
?2?
即a＝2(36－h)．
121322623
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a·4h＋a·h＝ah＝(36h－h)，0＜h＜6，
3332622
从而V′＝(36－3h)＝26(12－h)．
3令V′＝0，得h＝23或h＝－23(舍去)． 当0＜h＜23时，V′＞0，V是单调增函数； 当23＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数． 故当h＝23时，V取得极大值，也是最大值． 因此，当PO1＝23 m时，仓库的容积最大．
[方法技巧] 解函数应用题的四步骤
2
2
[演练冲关]
1．(2019·常州期末)某公园要设计一个如图1所示的景观窗格(其外框可以看成在矩形的四个角处对称地截去四个全等的三角形所得)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF＝BE＝1.6米，两根竖轴CH＝DG＝1.2米．记景观窗格的外框(如图2中的实线部分，
2
轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l米．
2π
(1)若∠ABC＝，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；
3(2)由于经费有限，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积(多边形
ABCDEFGH的面积)最大时，求出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度．
解：(1)记CH与AF，BE的交点分别为M，N，
2ππ1
由∠ABC＝可得∠CBN＝，易知AB＝0.6，CN＝HM＝×(1.2－0.6)＝0.3，
362所以BC＝
0.3CN0.333
＝＝0.6，BN＝＝＝，
sin∠CBNπtan∠CBNπ10
sintan
66
CN338－33
所以CD＝BE－2BN＝1.6－＝，
55
则l＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC＝1.2＋34－63
. 5
34－63
答：景观窗格的外框总长度为米．
5(2)由题意知，l＝2AB＋2CD＋4BC≤5.
16－63
＋2.4＝5
?π?设∠CBN＝α，α∈?0，?，BC＝r，
2??
则CN＝rsin α，BN＝rcos α，
所以AB＝CH－2CN＝1.2－2rsin α，CD＝BE－2BN＝1.6－2rcos α， 所以2(1.2－2rsin α)＋2(1.6－2rcos α)＋4r≤5， 3?π?即4r(sin α＋cos α－1)≥，α∈?0，?.
2?5?
设景观窗格的面积为S，则S＝1.2×1.6－2rsin αcos α≤
2
48
－25
9sin αcos α?0，π?(当且仅当4r(sin α＋cos α－1)＝3时取等号)．
，α∈ ?2
2?200（sin α＋cos α－1）5??
令t＝sin α＋cos α(t∈(1，2])，则sin αcos α＝
t2－1
2
，
3
9×
22?48489?
所以S≤－－?1＋?， 2＝
25200（t－1）25400?t－1?
22π≥1＋(当且仅当t＝2，即α＝时取等号)． t－142－1
2?482?489?489?9741921＋所以S≤－?1＋≤－＝－(3＋22)＝－， ???t－1?25400?25400?4002002－1?25400其中1＋
741923π
即S≤－(当且仅当4r(sin α＋cos α－1)＝且α＝时，取等号)，
400200543（2＋1）π所以当且仅当r＝且α＝时，S取得最大值．
204
3π3（2＋1）
答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC＝且BC＝
420米．
2．(2019·盐城三模)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB＝99 m，AD＝49.5 m．现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF＝1 m)，这部分的建设造价为每平方米31.4元．
(1)当n＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留π) (2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低．(计算中π取3.14)
*
t2－1
解：(1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r. 当n＝20时，共有19块空地， 99－19×1
所以r＝＝2(m)，
2×20
所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 πr＋πr×AD＝π×2＋2π×49.5＝103π(m)， 即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m. (2)设两项费用的和为f(n)． 99－（n－1）×1100－n因为r＝＝，
2n2n所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为
2
2
2
2
4
?100－n?＋π×49.5×100－n，
S＝πr＋πr×AD＝π×??2n?2n?
2
2
则f(n)＝10nS＋31.4×1×49.5(n－1)
?100－n?2100－n??＝10n?π×??＋π×49.5×2n?＋31.4×1×49.5(n－1) 2n?????（100－n）＋49.5×100－n＋49.5（n－1）? ＝31.4×??4n2??
31.4?（100－n）
＋99（100－n）＋198（n－1）?＝×?? n4??31.4?100
＋100n＋9 502?＝×??
4?n?＝
31.4??100??×?100×?＋n?＋9 502?， 4??n??
2
22
100
因为＋n≥2
n100
·n＝20，当且仅当n＝10时等号成立，
n所以，当且仅当n＝10时，f(n)取得最小值， 即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．
题型(二) 与三角形、多边形有关的实际应用题 主要考查与三角形有关的实际应用题，所建立函数模型多为三角函数模型.
[典例感悟]
[例2] (2018·江苏高考)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室
大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段
MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.
(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin θ的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
[解] (1)如图，设PO的延长线交MN于点H，则PH⊥MN， 所以OH＝10.
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