x2?y2?1,A(?2,0),B(0,?1)是椭圆?上的两点，直线11.（20分）如下图，椭圆?:4l1:x??2,l2:y??1.P(x0,y0)(x0?0,y0?0)是?上的一个动点，l3是过点P且与?相切的直线，C,D,E分别是直线l1与l2，l2与l3，l1与l3的交点， 求证：三条直线AD,BE和CP共点。
解答三：利用赛瓦定理
2015全国高中数学联赛模拟试题02
一（本题满分40分）
对任意实数a,b，定义运算“?”为：a?b[2a+b]．在直角坐标系中，
设点集A={(x,y)|0?x3,0?y2,(2排x)2y=(2排y)2x}，求A所对应的平面区域的面积．
二（本题满分40分）
如图，在?ABC中，AB?AC，H为?ABC的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足?BHM??CHS，点A在直线HS上的射影为P.证明：?MPS的外接圆与?ABC的外接圆相切.
APHCSMB三（本题满分50分）
2222整数a,b,c,d满足ad?bc?1.求a?b?c?d?ab?cd?ac?bd?bc的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组?a,b,c,d?
四（本题满分50分）
设整数n?2,G??0,1,?,n?1?，A,B?G，对x?G，记fAB(x)为满足a?b?x(modn)，a?A，
b?B的数组(a,b)的个数，类似定义fAA(x)，fBB(x).
证明：
?fx?G2AB(x)??fAA(x)?fBB(x).
x?G2015全国高中数学联赛模拟试题02
一（本题满分40分）
对任意实数a,b，定义运算“?”为：a?b设点集A={(x,y)|0?x[2a+b]．在直角坐标系中，
3,0?y2,(2排x)2y=(2排y)2x}，求A所对应的平面区域的面积．
解：根据运算“?”的定义，2?x为整数，进而
(2排x)2y=[2(2?x)2y]=2(2?x)[2y]=2[22+x]+[2y]
=2[x]+2[y]+2[22+{x}]+[2{y}]， ①
其中{x},{y}表示x,y的小数部分．同理可知
(2排y)比较①、②可知，(2排x)2x=2[y]+2[x]+2[22+{y}]+[2{x}]． ② 2y=(2排y)2x当且仅当
2[22+{x}]+[2{y}]=2[22+{y}]+[2{x}]．
由于[2{x}],[2{y}]?{0,1}，而2[22+{x}]与2[22+{y}]均是偶数，故上式成立的充分必要条件是
2[22+{x}]=2[22+{y}]，且[2{x}]=[2{y}]． ③
22)，则[2{x}]=[2{y}]=0，[22+{x}]=[22+{y}]=2． 1若{x},{y}?[322,)，则[2{x}]=[2{y}]=0，[22+{x}]=[22+{y}]=3．
21若{x},{y}?[,1)，则[2{x}]=[2{y}]=1，[22+{x}]=[22+{y}]=3．
211当{x},{y}取自[0,3-22)、[3-22,)、[,1)中不同的区间时，③不成立．
22{0,1,2},n{0,1}，记A(m,n)={(x,y)|(x,y?)A,[x]m,y[=]n对m挝，则根据上述讨论知，
A(m,n)所对应的平面区域面积
若{x},{y}?[0,3骣骣1163鼢S(m,n)=((3-22)-0)+珑-(3-22)+1-=-222， 鼢珑鼢桫2珑桫2221骣63222÷因此点集A所对应的平面区域面积为邋S(m,n)=6??÷?÷=189-1322． ?桫2m=0n=0二（本题满分40分）
如图，在?ABC中，AB?AC，H为?ABC的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足?BHM??CHS，点A在直线HS上的射影为P.证明：?MPS的外接圆与?ABC的外接圆相切.
证明：联接AH并延长交?ABC的外接圆于点D，作DE//BC与?ABC的外接圆交于点E，易知D,H关于BC对称，故?HCB??BCD??CBE,因此CH//BE，由此推出EB?AB，故AE为?ABC外接圆的直径.又由CH?CD?EB，结合CH//BE知四边形CHBE为平行四边形，所以EH过点M.设B?,C?为B,C在AC,BC上的射影，延长EH交?ABC的外接圆于点Q，
222由?AQH??AQE?90??APH得，A,Q,B?,H,C?,P共圆， 以AH为直径.由?BHM??CHS有?B?HQ??C?HP，
所以QB??PC?（相等的圆周角所对弦长相等），故有PQ//B?C?. 由?EAB??B?C?A?90??AEB??ACB?90得，AE?B?C?， 所以AE?PQ，结合AQ?QE有?AQP??AEQ，由此推出
?SDH??SHD??AHP??AQP??AEQ??ADQ??QDH， 所以点Q,S,D共线，由?QPS??QPH??QAH
?????QAD??QED??QMS得，P,Q,S,M四点共圆?.
过点Q作?ABC外接圆的切线，由?TQS??TQD??QED??QMS知， TQ也是圆?的切线，故?MPS的外接圆与?ABC的外接圆相切，证毕.
三（本题满分50分）
整数a,b,c,d满足ad?bc?1.求a2?b2?c2?d2?ab?cd?ac?bd?bc的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组?a,b,c,d?
1?2222a?b???c?d???a?c???b?d???bc. ??2?(1)bc?0,则ad?1?bc?0,故b、c同号, a、d同号.由于f?a,b,c,d??f??a,?b,?c,?d?,故只须考
解:设原式?f?a,b,c,d?,易知: f?a,b,c,d??虑如下两种情况:(i) a,b,c,d?0； (ii)a,d?0;b,c?0. 对于(i),由a?b?1?b,c?d?c?1知:
?b?c??1?b?c?2. 122f?a,b,c,d????b?1???c?1???bc??2?2对于(ii),由a?c??c?1,b?d?b?1知:
22?b?c??b?c?1?2. 1f?a,b,c,d????c?1???b?1???bc??2?2(2)bc?0.则ad?1,所以a?d??1.若b?0,则
112222f?a,b,c,d???a2??c?d???a?c??d2??1???c?1???c?1???2,等号成立当且仅当c?0.
??2?2?同理，若c?0,则f?a,b,c,d??2,等号成立当且仅当b?0.
22(3)bc?0.此时,若bc??3,则f?a,b,c,d??3.若bc??2,则f?a,b,c,d??2,取等号时有
a??b?c??d.但此时b2?2,与b为整数矛盾!故等号取不到.
若bc??1,则ad?0,f?a,b,c,d??1,取等号时有a??b?c??d.但ad?0,bc??1,这不可能!
故f?a,b,c,d??2,取等号时,?a?b???a?c???c?d???b?d??2.
22由bc??1知:b?c?1.由ad?0知,a,d中必有0.若a?0,则b??c?d,故?a,b,c,d???0,1,?1,1?2222或?0,?1,1,?1?.同理，若d?0,则a??b?c,?a,b,c,d???1,?1,1,0?或??1,1,?1,0?. 综上所述,f?a,b,c,d?最小值为2,取等号当且仅当?a,b,c,d?为
?0,1,?1,1?,?0,?1,1,?1?,?1,?1,1,0?,??1,1,?1,0?,?1,0,0,1?,??1,0,0,?1?之一.
四（本题满分50分）
设整数n?2,G??0,1,?,n?1?，A,B?G，对x?G，记fAB(x)为满足a?b?x(modn)，a?A，
b?B的数组(a,b)的个数，类似定义fAA(x)，fBB(x).
证明：
?fx?G2AB(x)??fAA(x)?fBB(x).
x?G证明：对x?G，记Ax?{(s,t)|s?t?x(modn),s,t?A}，Bx?{(s,t)|s?t?x(modn),s,t?B}，
Cx?{(s,t)|s?t?x(modn),s?A,t?B}，
则由fAA(x),fBB(x),fAB(x)的定义知，fAA(x)?Ax,fBB(x)?Bx,fAB(x)?Cx．
又记Px?{(s,t,u,v)|s?t?u?v?x(modn),s,t?A,u,v?B}，
Qx?{(s,t,u,v)|s?u?t?v?x(modn),s,t?A,u,v?B}，
则Px?Ax?Bx?fAA(x)?fBB(x)，Qx?Cx?Cx?fAB(x)．
考虑S?{(s,t,u,v)|s?t?u?v(modn),s,t?A,u,v?B}的元素个数S． 一方面，由于S?x?G2?P，且其中各个P两两不交，故S??P??fxxxAA(x)?fBB(x)．
x?G①
x?Gx?G另一方面，注意到S?{(s,t,u,v)|s?u?t?v(modn),s,t?A,u,v?B}?而其中各个Qx亦两两不交，因此S?由①、②得，
?Qx，
?fx?G2AB(x)?S?Q??f(x)． ??f(x)?f(x)．
x2ABx?Gx?GBBAAx?G②
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