2011年全国高中数学联赛试题参考答案 

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）

考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10

二、（本题满分40分）证明：对任意整数n?4，存在一个n次多项式

f(x)?x?an?1xnn?1???a1x?a0

具有如下性质：

（1）a0,a1,?,an?1均为正整数； （2）对任意正整数m，及任意k(k?2)个互不相同的正整数r1,r2,?,rk，均有

．

f(m)?f(r1)f(r2)?f(rk)

三、（本题满分50分）设a1,a2,?,an(n?4)是给定的正实数，a1数r，满足

证明：

aj?aiak?aj?r(1?i?j?k?n)的三元数组(i,j,k)?a2???an．对任意正实

的个数记为

fn(r)．

fn(r)?n24．

四、（本题满分50分）设A是一个3?9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个m?n，若它的所有数的和为(1?m?3,1?n?9)方格表为“好矩形”

10的倍数．称A

中的一个1?1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．