三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（1）{an}为等差数列，因为S4?10，a5?5， 所以4a1?6d?10，a1?4d?5，解得a1?1，d?1，
所以an?n．………………………………………………………………………………（3分）
4因为Tn?(4n?1)，
344所以当n≥2时，bn?Tn?Tn?1?(4n?1)?(4n?1?1)?4n；
33……………………………………………………………………（5分）
当n?1时，b1?T1?4，
综上，bn?4n，n?N?．…………………………………………………………………（6分） （2）cn?log24n?11??1?2n??? ?，…………………………………………（8分）
n(n?1)?nn?1?11??1111所以Cn?c1?c2?L?cn?2(1?2?3?L?n)??????L???
nn?1??12231?n??n(1?n)??1??n(1?n)?，?n?1 ?n?1?所以Cn?n(1?n)?n（10分） ，………………………………………………………………
n?1因为Cn?n(1?n)?n1为关于n的递增数列， ?100，当n≥1时，Cn?n(1?n)?1?n?1n?1C8?C9?90?910?100，C10?110??100， 1011所以n的最大值为9．…………………………………………………………………（12分）
理科数学参考答案·第5页（共12页）
18．（本小题满分12分）
解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（言之有理即可）
………………………………………………………………………………………（4分） （2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表
x 6 3.5 7 5.2 8 7.0 9 8.6 10 10.7 y
则上表的数据中，x?7.5?6?55.9?6?0.4?8，y??7，5xy?280，5x2?320， 555?xyii?15i?299.8?5?0.4?297.8，?xi2?355?25?330，
i?1$?所以b?xyii?155i?5xy??5x2?xi?12i297.8?28017.8??1.78， 330?32010………………………………………………………………………………………（10分） $?7?1.78?8??7.24，得模型①的回归方程为y?1.78x?7.24， ??y?bxa则x?11时，y?1.78?11?7.24?12.34mm，
故光照时间为11h时，该植物的平均增长高度为12.34mm．
………………………………………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：如图2，连接DM，因为AB?BC?2，?ABC??ADC?90?，M为AC的中点，
所以BM?AC，………………………………………（1分） AC?2，DM?BM?1，
又因为DB?2，所以DM2?BM2?DB2，所以BM?DM，
……………………………………………………（3分）
理科数学参考答案·第6页（共12页）
图2
DMIAC?M，所以BM?平面ADC，而DC?平面ADC，所以BM?DC．
………………………………………………………………………………………（4分） （2）解：取MC的中点为O，BC的中点为E，连接DO，OE，则BM∥OE， 因为?DCA?60?，所以DC?MC?DM?1， 又因为O为MC的中点，所以DO?AC， 由（1）知BM?平面ADC，DO?平面ADC， 所以BM?DO，
又BMIAC?M，所以DO?平面ABC，
以O为坐标原点，OA，OE，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，
………………………………………………………………………………………（6分） ?3??3??1??1?0，0，，0，0?，B?，，10?，D?C?，0，0由题意知A?，???，??2222?????? ??uuur?1uuur?1ur3?uu3??，?1，，DC??，0，?BA?(1，?1，0)，则BD??????2??2?，22???? r设平面DAB的向量为n?(x，y，z)，
r?ruuu13rngBD??x?y?z?0，?n?(1，，13)为平面DAB的一个法向量， 则?令，得x?122ruuur?ngBA?x?y?0，?………………………………………………………………………………………（8分） 假设线段DC上存在点Q，使得直线BQ与平面ADB所成角的正弦值为uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1]，则BQ?BD?DQ?BD??DC， 设DQ??DC，??[0，5， 10uuur?1?3BQ??(1??)，?1，(1??)??所以?2?， 2??理科数学参考答案·第7页（共12页）
ruuurruuur5ngBQ2?r??|cos?n，BQ?|?ruuu，化简得15?2???2?0， 所以210|n||BQ|5g????212解得?1?，?2??（舍去），所以存在这样的点Q，
35 ……………………………………………………………………………………（11分）
11 此时DQ?DC?．…………………………………………………………………（12分）
3320．（本小题满分12分）
?2x?x0，????x?2x，2（1）解：由?得到?0
??y?1y，?y0?2y，0??2又因为P(x0，y0)在圆x2?y2?4上，
x2所以x?y?4①，把x0?2x，y0?2y带入①，得?y2?1，
22020x2所以曲线C的标准方程为?y2?1．…………………………………………………（4分）
2（2）证明：设直线AB的方程为x?my?1，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1，x2??2)， ?x22??y?1，联立直线和椭圆方程?2化简得(m2?2)y2?2my?1?0，易知??0，
?x?my?1，?由韦达定理y1?y2??2m?1（6分） ，yy?，…………………………………………1222m?2m?2?(2?2)y1?2，， (x?2)，所以D????x1?2?x1?2?由题意：直线lNA：y?y1所以kDF?(2?2)y1x1?2，所以kFE??x1?2(2?2)y1，
理科数学参考答案·第8页（共12页）
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