2. 【原题】（必修2第28页习题1.3第3题） 如图将一个长方体沿相邻三
个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。
【原题解读】本题以最为熟悉的几何体长方体为背景，进行截取并求体积。可采用
分解的思想，即求出长方体和三棱锥的体积，而剩下体积可减出。从而 求出体积比。体现了基本运算能力、空间想象能力和分解与组合的思想。
变式.【2015高考新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去
部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A．
1111 B． C． D． 8765
【答案】D
3.【原题】（必修2第29习题1.3 B组1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果分别精确到1cm2，1cm3，可用计算器）。
【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知，
可知球的直径为4cm，则球的半径R为2cm， 所以球的表面积和体积分别为：
33S球=4πR2 =4π?22=16π（cm2），V球=43πR=43π?23=323π（cm）．
而四棱柱（长方体）的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，
所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为：
S四棱柱=（8×4+4×20+8×20）×2=272×2=544cm2，V四棱柱=8×4×20=640cm3。
该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形．四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和．所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A作AE⊥CD，AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm，则AE为四棱台ABCD面上的斜高：∴AE=20-1222+22=25cm，所以四棱台的表面积和体积分别为：
【原题解读】：本题在考察三视图的同时，进而要求计算常见几何体的体积和表面积，而题中几何体
由常见几何体组合而成，可采用分解的思想，化为基本几何体体积和表面积的和来计算。注意算表面积时，几何体接触部分需减去。
变式.【2015高考课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何
体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B
4. 【原题】（必修2第37复习参考题B组2）一个长、宽、高分别是80 cm、60 cm、55cm的水槽中有水200000cm.线放入一个直径为50 cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，
3
那么水是否会从水槽中流出？
【解析】水槽的容积V=80×60×55=264000(cm3)，
木球的体积V木?42??253?65417(cm3)，Q200000+65417??243611?V， 33∴水不会从水槽中流出．
【原题解读】本题以物理中漂浮现象为背景，需要我们分析出利用体积，即水槽中水的体积加球体
水中部
分的体积之和与长方体体积比较，来解答。体现了数学建模能力和应用意识与运算能力。 同时可延
伸拓展
为球体与多面体内接域外切问题.
变式.【2015高考课标2】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱
锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C
0
二.空间点、直线、平面之间的位置关系
1.【原题】（必修2第47页例题3） 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
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