出相应的t值．
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形． 【解答】解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax+bx得
2
，
解得a=﹣，b=4．
故抛物线的解析式为：y=﹣x+4x；
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=∴PE=AP=t．PB=8﹣t． ∴点E的坐标为（4+t，8﹣t）．
∴点G的纵坐标为：﹣（4+t）+4（4+t）=﹣t+8． ∴EG=﹣t+8﹣（8﹣t）=﹣t+t． ∵﹣＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2． ②共有三个时刻． （①）当EQ=QC时，
因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC=t， 所以根据两点间距离公式，得：
29
2
2
2
2
2
=，即=．
（t﹣4）+（8﹣2t）=t．
2
整理得13t﹣144t+320=0，
解得t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）． （②）当EC=CQ时，
因为E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC=t， 所以根据两点间距离公式，得： （4+t﹣8）+（8﹣t）=t． 整理得t﹣80t+320=0，t=40﹣16（③）当EQ=EC时，
因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（ t﹣4）+（8﹣2t）=（4+t﹣8）+（8﹣t）， 解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=于是t1=
，t2=
，t3=40﹣16
．
．
2
2
2
2
2
2
2
2
222
，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
【点评】抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程组，再求未知系数，这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用未知系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．
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