1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程
明目标、知重点
1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限． 2．求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
[情境导学]
任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？
探究点一 求曲边梯形的面积 思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解． 问题 如图，如何求由抛物线y＝x与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?
思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤) 答 (如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．
2
2
i－12
Sn＝?ΔSi≈? ()·Δx
ni＝1i＝1
nnn＝? (
i＝1
i－121
)·(i＝1,2，…，n) nn1121n－121
＝0·＋()·＋…＋()·
nnnnn1222＝3[1＋2＋…＋(n－1)]
n111
＝(1－)(1－)． 3n2n1111∴S＝limS)＝. n＝lim (1－)(1－n→∞n→∞3n2n3
求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成． 思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x在区间[
2
i－1i，](i＝1,2，…，n)上的值nnii1
近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是
nn3
吗？取任意ξi∈[i－1i，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？ nn1
答 以上方法都能求出S＝.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极
3限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x所围成的图形的面积． 解 (1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间：
11223i－1in－1[0，]，[，]，[，]，…，[，]，…，[，1]，
2
nnnnnnnn每个小区间的长度为Δx＝－ii－11
＝. nnn过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn. (2)近似代替 在区间[
i－1ii－1?i－1?2作为高，小区间的长度Δx＝1
，](i＝1,2，…，n)上，以的函数值??nnnn?n?
作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即 ΔSi≈(i－121)·. nn(3)求和
曲边梯形的面积近似值为
nnS＝?ΔSi≈? (
i＝1
i＝1
i－121
)· nn1121221n－121
＝0·＋()·＋()·＋…＋()· nnnnnnn1222＝3[1＋2＋…＋(n－1)]
n111
＝(1－)(1－)． 3n2n(4)取极限 曲边梯形的面积为
S＝lim (1－)(1－)＝. n→∞3n2n3
反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确． 跟踪训练1 求由抛物线y＝x与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
解 ∵y＝x为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
?y＝x?x≥0??由???y＝4
2
2
2
2
1111
，
得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x围成的曲边梯形的面积． (1)分割
将区间[0,2] n等分， 22?i－1?则Δx＝， 取ξi＝. 2
nn(2)近似代替求和
nSn＝?[
i＝1
2?i－1?22
]·
nn82222＝3[1＋2＋3＋…＋(n－1)]
n811
＝(1－)(1－)． 3n2n(3)取极限
S＝limSn＝lim (1－)(1－)＝. n→∞n→∞3n2n3
8118
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