函数、极限与连续测试卷
一、选择题（每题2分，共40分）
1、下列函数中，不是奇函数的是（ ） C
2x?12（A）y?x (B) y?lg(x?1?x)
2?1 (C)y?xarccosx22y?x?3x?7?x?3x?7 (D)21?xx?x2、设f(x)?(x?x)[e?1](???x???)，则f(x)（ ）C
（A）是奇函数 （B）是偶函数
(C) 是奇函数又是偶函数 (D)非奇函数又非偶函数 3、数列有界是数列收敛的（ ）B
（A）充分条件 (B)必要条件
(C) 充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
4、设数列?un?满足limun?A，则（ ） Cn??（A）limun?A (B)limun??A n??n??
(C)limun不一定存在 (D)limun??A n??n???x?1?5、若f(x)?2x2?1,g(x)?x?1则（ ）C ，x?1x?1（A）f(x)?g(x) (B) limf(x)?g(x) (C) limf(x)?limg(x) (D) 以上等式都不成立
x?1x?1?ex?2,x?0?x?0，则limf(x)?（ ）A 6、设函数f(x)??1,x?0?sinx?cosx,x?0?（A）?1 (B) 1 (C) 0 (D) 不存在 7、limarccotx?01?（ ）D x（A）0 (B)? (C) 0 或? (D) 不存在 8、设有两个数列?an?，?bn?，且lim(an?bn)?0，则（ ）D
n??（A?an?，?bn? 必都收敛，且极限相等 (B)?an?，?bn? 必都收敛，但极限不一定相等 (C) ?an?收敛，而?bn?发散 (D) ?an?和?bn?可能都收敛，也可能都发散。
1
9、下列极限中，极限值不为零的是（ ）A
arctan2xsin2x1x22（A）lim (B)lim (C) limxsin (D) lim4
x??x?0x?0x??x?x2xxx10、lim(1?)n??1nn?1000的值是（ ）A
1000（A）e (B) e (C) e?e1000 (D其他值
11、若x是无穷小，下列说法中错误的是（ ）C
2（A）x是无穷小 (B) 2x是无穷小
(C) x?0.001是无穷小 (D?x是无穷小 12、当x?0时，下列说法中错误的是（ ） C （A）xsinx是无穷小 (B) xsin(C)
1是无穷小 x111sin是无穷大 (D) 是无穷大 xxx1113、如果x??时，2是比高阶的无穷小，则（ ） C
ax?bx?cx?1（A）a?0,b?1,c?1 (B) a?0,b?1,c为任意常数 (C) a?0,b、c为任意常数 (Da,b,c都可以是任意常数
14、当x?0时，在下列无穷小中与x等价的是（ ） A （A）1?cos2x (B) ln1?x2 (C)
1?x2?1?x2 (D)ex?e?x?2
15、不能导出y?f(x)在x0处连续的极限式是（ ）C
（A）lim[f(x0??x)?f(x0)]?0 (B) limf(x)?f(x0)
?x?0x?x0(C) lim[f(x0??x)?f(x0??x)]?0 (D) lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y?lim存在
?x?0?x?x?0?x16、设f(x)?1?e1?e1x1x，点x?0是f(x)的（ ）B
（A）可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C)无穷间断点 (D)连续点 17、设f(x)?x2?2x?1，则f(x)的可去间断点为（ ）A
lnx（A）仅有一点x?0 (B) 仅有一点x?1
(C) 有两点x?0及x?1 (D)有两点x?0、x??1及x?1
2
18、设f(x)在???,???上连续，a,b为任意常数，且a?b，则f(x)必能取到最大值和最小值的区间是（ ）C
（A）[a,b) (B) (a,b] (C) [a,b] （D）???,???
二、填空题（每空2分，共20分）
1、设f(x)?lnx，?(x)?arcsinx，则f[?(x)]的定义域是 。 (0,1 ]2、设f(x)的定义域是（0，1），则f(4?x2)的定义域是 (?2?,3?)(3。,3、设f(x)?41，则f(0?)= 。2
2?3x354、
?2?3x??3?2x?5limx??? 。 ??3?(1?6x)8?2??
5、lim3x2?5x??5x?3?sin4x= 。 （125） 6、lim(1?2???n?1?2???(n?1))= 。 2n??
2 27、lim(1?3sinxx?0x)= 。e6
8、limtanxx??sinx? 。 ?1
三、计算下列极限（每题4分，共16分）
x?1?limx?1?x?1x?1x?1?1、
x2?1?limx?1x?1?x2?1 （1(x?12）
x?1?1)x?1?lim1x?1?x?1x?1?2
2、xlim???x?x2?1?x2?1??xlim2x???x2?1?x2?1?1 1
limn[ln(1?n)?ln(n?1)]?limnlnn?13、
nn?1?lim2??n??n??nln(1?n?1)2n?1 2
?limln(12?2?1n???n?1)n??limln(12n???n?1)?lne2?2 3
)2
tanx?sinxtanx?sinxsinx(1?cosx)?lim?limx?0arcsin3xx?0x?0x3x3cosx4、 12 x21?cosx2?1?lim?limx?0x?0x2x22lim
ax2?bx?5四（6分）、设f(x)?，其中a,b为常数，问：
x?5（1）a,b取何值时，limf(x)?1； a?0,b?1
x??（2）a,b取何值时，limf(x)?0； a?0,b?0
x??（3）a,b取何值时，limf(x)?4。 a?1,b??6
x?5ax2?bx?5limf(x)?lim?1?a?0,b?1x??x??x?5ax2?bx?5limf(x)?lim?0?a?0,b?0x??x??x?5ax2?bx?5limf(x)?lim?4 x?5x?5x?5lim(x2?bx?5)?25a?5b?5?0?5a?b?1?0?b??1?5ax?5ax2?(?1?5a)x?5ax(x?5)?(x?5)lim?lim?5a?1?4x?5x?5x?5x?5a?1,b??6
五（5分）、设?(x)?sin?x,?(x)?e?e2cosx，且当x?0时，?(x)~?(x)，试求?。
e?ecosxe(1?ecosx?1)e[?(cosx?1)]lim?lim?limx?0sin?x2x?0x?0?x2?x2x2ee ?elim??12x?02?x22?1???e2
4
1?23sinx?xsin?x,x?0?六（5分）、设f(x)??，求a使f(x)在x?0处连续。 12
?(1?2cosx)ln(1?2x)??a,,x?03sinx?x2sin13sin1limxx?x2sinx?0f(x)?limx?0(1?2cosx)ln(1?2x)?13limxx?02x1?16lim(3sinxx2sinx?0x?xx)?16?(3?0)?12?a ?a?12
*七（5分）、设x1?4，xn?1?2xn?3,(n?1,2,?)，
求证：数列?xn?极限存在并求之。（单调有界必有极限不考）
八（5分）、设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0)?f(2a)， 求证：必存在一点??[0,a]，使得f(??a)?f(?)
证明：设g(x)?f(x?a)?f(x)在[0，a]上连续，g(0)?f(a)?f(0),g(a)?f(2a)?f(a)?f(0)?f(a)?g(0)?g(a)?0当g(0)?g(a)?0时，x?0与x?a显然为方程f(x?a)?f(x)的解； 当g(0)?g(a)?0时，由介值定理知:至少存在一??（0，a)?(0,2a),使得g(?)?f(??a)?f(?)?0即f(??a)?f(?) 5
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