2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数函数教案 文 新人教A版

A．c

B．a

0.2

0

【解析】 因为a＝log27>log24＝2，b＝log381，c＝0.3<0.3＝1，所以c

【答案】 A

比较对数值的大小的方法

角度二 解简单的对数不等式或方程

?2??3?则f(2x－1)>0

(一题多解)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f??

aa????

的解集为( )

A．(0，1) C．(1，＋∞)

B．(－∞，1) D．(0，＋∞)

23

【解析】 法一：因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<

aa?2??3?且f??

f(2x－1)>0?2x－1>1，所以x>1.

23?2??3?法二：由f??loga，

aa????

aa所以loga2－1

所以a>1，由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，所以2x－1>1，即x>1. 【答案】 C

解对数不等式的函数及方法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0

(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式． 角度三 对数型函数的综合问题

已知函数f(x)＝log4(ax＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值．

【解】 (1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，

5

2

所以f(x)＝log4(－x＋2x＋3)．

由－x＋2x＋3>0得－1

则g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)． (2)若f(x)的最小值为0，

则h(x)＝ax＋2x＋3应有最小值1，

22

2

2

a>0，??

因此应有?3a－1

＝1，??a1

解得a＝.

21

故实数a的值为.

2

解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝2，c＝0.2，则( ) A．a＜b＜c C．c＜a＜b

B．a＜c＜b D．b＜c＜a

0.2

0

0.3

0

0.2

0.3

解析：选B.因为a＝log20.22＝1，c＝0.2<0.2＝1且c>0，所以

a

??2，x≤1，

2．设函数f(x)＝?则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )

?1－log2x，x>1，?

1－xA．[－1，2] C．[1，＋∞)

解析：选D.当x≤1时，2

1－xB．[0，2] D．[0，＋∞)

≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，

1

解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.

2

6

思想方法系列4 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质

12

已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a>0且a≠1)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数

23

a的取值范围是( )

1

A．(，1)

32

C．(，1)

3

1

B．[，1)

32

D．[，1)

3

124

【解析】 当00，即

233414112

0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，所以loga(13333231

－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是(，1)．

3

【答案】 A

本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．

已知函数y＝a＋2a－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．

解：y＝a＋2a－1，令t＝a， 则y＝g(t)＝t＋2t－1＝(t＋1)－2.

当a>1时，因为x≥0，所以t≥1，所以当a>1时，y≥2. 当0

因为g(0)＝－1，g(1)＝2，所以当01时，函数的值域是[2，＋∞)； 当0

[基础题组练]

1．函数y＝log3（2x－1）＋1的定义域是( ) A．[1，2]

B．[1，2)

2

2

2x2xxxx?2?C.?，＋∞?

?3??2?D.?，＋∞?

?3?

??log3（2x－1）＋1≥0，

解析：选C.由?即

??2x－1>0，

7

1

log（2x－1）≥log，??32

解得x≥.故选C. ?13

??x>2，3

3

2．若函数y＝f(x)是函数y＝a(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( ) A．log2x C．log1x

2

1B.x 2D．2

x－2

x

解析：选A.由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以

a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A.

28

3．(2020·东北三省四市一模)若a＝log2，b＝0.4，c＝ln 2，则a，b，c的大小关

5系是( )

A．a

B．a

21188

解析：选B.a＝log20，所以0

52211

ln 2＝ln4>lne＝，即c>，所以a

22

4．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )

A．f(a＋1)>f(2) C．f(a＋1)＝f(2)

B．f(a＋1)

解析：选A.由已知得0

f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．

5．(2020·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则( )

A．f(x)在(－∞，0)上是减函数 B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数 C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数 D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数

解析：选D.由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线

x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0

可知，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，选D.

8