2019年北京市中考数学试卷及答案解析

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2019年北京市高级中等学校招生考试

数 学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只

有一个.

1.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米.将439 000用科学记数法表示应为

（ ） A.0.439?106

B.4.39?106

C.4.39?105 D.439?103 2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是

（ ）

A

B C

D

3.正十边形的外角和为

（ ）A.180?

B.360?

C.720?

D.1440?

4.在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C.若CO?BO，则a的值为

（ ）A.?3

B.?2

C.?1

D.1

5.已知锐角?AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作?PQ

，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交?PQ

于点M，N；（3）连接OM，MN.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

（ ）

A.?COM??COD

PMB.若OM?MN，则?AOB?20? AC.MN∥CD CD.MN?3CD

ODBN6.如果m?n?1，那么代数式??2m?n?m2?mn?1?Qm????m2?n2?数学试卷 第1页（共20页） 的值为 （ ） A.?3

B.?1

C.1 D.3

7.用三个不等式a?b，ab?0，11

a?b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作

为结论组成一个命题，组成真命题的个数为

（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分. 学生 类型 人数 0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40 时间 性 男 7 31 25 30 4 别 女 8 29 26 32 8 学初中 25 36 44 11 段 高中 人均参加公益劳动时间/小时3027.02524.525.521.820151050男生女生初中生高中生学生类别

下面有四个推断：

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间

数学试卷 第2页（共20页）

所有合理推断的序号是

（ ）

A.①③

B.②④

C.①②③

D.①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.若分式x?1x的值为0，则x的值为 .

10.如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2.（结果保留一位小数）

CAB第10题图

11.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号）

①长方体②圆柱③圆锥第11题图

12.如图所示的网格是正方形网格，则?PAB＋?PBA? 。（点A，B，P是网格线交点）.

PAB第12题图

13.在平面直角坐标系xOy中，点A?a，b??a?0，b?0?在双曲线y?k1x上.点A关于x轴的对称点B在双曲线上，则k1?k2的值为 .

14.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼

数学试卷 第3页（共20页） 成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 .

51图1图2图3

15.小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85

的方差s20.在计算平均数的过程中，

将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，?4，9，?5.记这

组新数据的方差为s2s221，则1 s0.(填“?”，“?”或“?”)

16.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）.

对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形. 所有正确结论的序号是 .

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，

第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、

演算步骤或证明过程．

17.计算：?3??4???0?2sin60o?（1?14）

?4(x?1)?x?18.解不等式组：?2,??x?7?3?x.

19.关于x的方程x2?2x?2m?1?0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.

数学试卷 第4页（共20页）

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20.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE?DF，连接

EF.

（1）求证：AC?EF；

（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD?4，tanG?12，求AO的长.

21.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，

50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； 频数（国家个数）129862130405060708090100国家创新指数得分

b.国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：

61.762.463.665.966.468.569.169.369.5

c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

数学试卷 第5页（共20页） 国家创新指数得分l1100ABl2908070C6050403001234567891011人均国内生产总值/万元

d.中国的国家创新指数得分为69.5.

（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国

在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方.请在图中用“d”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约

万美元；（结果保留一位小数） （4）下列推断合理的是 .

①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力； ②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值.

22.在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示.点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，?ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.

数学试卷 第6页（共20页）

（1）求证：AD?CD；

（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点

M，连接CM.若AD?CM，求直线DE与图形G的公共点个数.

ABC

23.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有xi首，i?1,2,3,4；

②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i?1）天背诵第二遍，第（i?3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i?1,2,3,4；

第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1 x1 x1 第2组 x2 x2 x2 第3组 第4组 x4 x4 x4 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首. 解答下列问题： （1）填入x3补全上表；

（2）若x1?4，x2?3，x3?4，则x4的所有可能取值为 ； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首.

数学试卷 第7页（共20页） 24.如图，P是?AB与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是?AB上一动点，连接PC交弦AB于点D.

CADPB

小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C在AB?上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

y/cm654321O123456x/cm

（3）结合函数图象，解决问题：当PC?2PD时，AD的长度约为 cm.

数学试卷 第8页（共20页）

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25.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y?kx?1?k?0?与直线x?k，直线y??k分别交于点A，B，直线x?k与直线y??k交于点C. （1）求直线l与y轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）

为W.

①当k?2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数； ②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?bx?1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上. （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点P(12,?1a)，Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，

结合函数图象，求a的取值范围.

27.已知?AOB?30?，H为射线OA上一定点，OH?3?1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足?OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150?，得到线段PN，连接ON. （1）依题意补全图1； （2）求证：?OMP??OPN；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON?QP，并证明．

数学试卷 第9页（共20页） BBOHAOHA图1备用图28．在!ABC中，D，E分别是!ABC两边的中点，如果

上的所有点都在!ABC的

内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中

是!ABC的一条中内

弧．

ADEBC

（1）如图，在Rt!ABC中，AB?AC?22，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC

的最长的中内弧

，并直接写出此时

的长；

ADEBC????

（2）在平面直角坐标系中，已知点A0,2，B0,0，C?4t,0??t?0?，在!ABC中，

D，E分别是AB，AC的中点．

①若t?12，求!ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在!ABC中存在一条中内弧

，使得

所在圆的圆心P在!ABC的内部

或边上，直接写出t的取值范围．

数学试卷 第10页（共20页）