突破点9 空间几何体表面积或体积的求解
[核心知识提炼]
提炼1 求解几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．
(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．
(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 提炼2 球与几何体的外接与内切
(1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径r＝
66a，外接球的半径R＝a. 124
图9-1
(2)正方体与球：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点，如图9-1所示．
a
①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为OJ＝；
2②正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为OG＝2a； 2
③正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA1＝
[高考真题回访]
回访1 几何体的表面积或体积
1．(2017·全国卷Ⅱ)如图9-2，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
3a. 2
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图9-2
A．90π C．42π
B．63π D．36π
B [方法1：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．
将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体1
积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝
2122
π×3×4＋π×3×6×＝63π.
2故选B.
1
方法2：(估值法)由题意，知V2
圆柱
＜V几何体
＜V圆柱．
又V圆柱
＝π×3×10＝90π，∴
2
45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合． 故选B.]
2.(2016·全国卷Ⅱ)如图9-3是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
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图9-3
A．20π B．24π C．28π
D．32π
C [由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22
＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为
23
2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该
几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]
3．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图9-4，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
图9-4
A.1
B．18 7 C.1
6
D．15
D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V1＝1×1132×1×1×1＝6
，
剩余部分的体积V3
－152＝16＝6. 1所以V161
V2＝5＝5
，故选D.]
6
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回访2 球与几何体的外接与内切
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π C.π 2
B.D.3π 4π 4
B [设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r＝
3?1?1－??2＝. 2?2?
33π2
∴圆柱的体积为V＝πrh＝π×1＝.
44故选B.]
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A．36π C.144π
B．64π D．256π
12
C [如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R.
2
∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO-ABC最大，
112
∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO-ABC最大为×R×R＝36，
32∴R＝6，∴球O的表面积为4πR＝4π×6＝144π.故选C.]
6．(2013·全国卷Ⅰ)如图9-5，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
2
2
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