＋
π. 2
(2)该几何体是正四棱柱中挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋2×4×5－π×1＋2π×1＝48＋π，故选A.
(3)最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C1-CD1B1的体积．
1?1?3
又V三棱锥C1-CD1B1＝V三棱锥C-B1C1D1＝×?×6×6?×6＝36(cm)，所以用图示中
3?2?这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm体积的水．]
热点题型2 球与几何体的切、接问题
题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的主线，考生要时刻谨记．先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质——球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解．
【例2】 (1)(2016·南昌二模)一个几何体的三视图如图9-11所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
3
2
2
图9-11
A.B.C.D.8π
316π
348π
364π
3
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球
O的表面积为________．
9 / 13
10 / 13
(1)D (2)36π [(1)由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S - ABC，其中
HS是三棱锥的高，由三视图可知HS＝23，HA＝HB＝HC＝2，故H为△ABC外接圆的
圆心，该圆的半径为2.
由几何体的对称性可知三棱锥S-ABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB. 设球的半径为R，则球心O到△ABC外接圆的距离为OH＝|SH－OS|＝|23－R|， 由球的截面性质可得R＝OB＝OH2＋HB2＝|23－R|2＋22，解得R＝1664π2
所求外接球的表面积为4πR＝4π×＝.故选D.
33(2)如图，连接OA，OB.
43
，所以3
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则
OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥S-ABC的体积 1?1r3?V＝×?SC·OB?·OA＝， 3?23?即
r32
＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr＝36π.] 3
[方法指津]
解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征来确定．对于旋转体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的
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半径在截面图形中体现出来．
[变式训练2] (1)(2017·江西七校联考)如图9-12，ABCD是边长为23的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，
D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是
( )
图9-12
A．6π C．18π
B．12π D．92π
(2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠
BAC＝60°，AA1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )
【导学号：04024088】
A.40π
3
32030π
27
B.
4030π
27
C.D．20π
(1)C (2)B [(1)因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R＝球的表面积S＝4πR＝4π?
2
32＋32＋232＝32，故该
?32?2
?＝18π，故选C. ?2?
(2)设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示．
由题意可得外接球的球心O为O1O2的中点．
在△ABC中，由余弦定理可得BC＝AB＋AC－2AB×ACcos∠BAC＝3＋1－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC＝7.
2
2
2
2
2
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由正弦定理可得△ABC外接圆的直径2r＝2O2B＝1
而球心O到截面ABC的距离d＝OO2＝AA1＝1，
2
BC27721
＝，所以r＝＝.
sin 60°333
设直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为R，由球的截面性质可得R＝d＋r＝1＋30?21?210
??＝3，故R＝3， ?3?
4π34030π
所以该三棱柱的外接球的体积为V＝R＝.故选B.]
327
2222
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