（高等教育出版社）线性代数课后习题1-4作业答案

高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案

??210??13?11?1所以 A?A*???3???

22?|A|??167?1???a1a0???2(4)??(a1a2? ? ?an ?0) ?

???0an???a1?0?a?2 解 A??? 由对角矩阵的性质知 ???0?a?n??1??a10?1?a?2?? A?1?????10???an???12. 利用逆矩阵解下列线性方程组?

x?2x2?3x3?1??1 (1)?2x1?2x2?5x3?2?

??3x1?5x2?x3?3 解 方程组可表示为

?123??x1??1? ?225??x2???2??

?351??x??3????3????1x?1??123??1??1?故 ?x2???225??2???0??

?x??351??3??0???????3??x?1??1从而有 ?x2?0?

??x3?0?1?4? ????10?? 求A11? 19.设P?1AP??? 其中P???11???02????? 解 由P?1AP??? 得A?P?P?1? 所以A11? A=P?11P?1.

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1 |P|?3? P*????1??1而 ?11???0?114?? P?1?1?14??

??1?1?1?3???0????10 ??

?0211?2?????14????27312732??1?4?10????1133故 A????0211??11????683?684?? 11???????????33???1??111??1?? 20. 设AP?P?? 其中P??10?2?? ?????1?11?5????求?(A)?A8(5E?6A?A2)? 解 ?(?)??8(5E?6???2)

?diag(1?1?58)[diag(5?5?5)?diag(?6?6?30)?diag(1?1?25)] ?diag(1?1?58)diag(12?0?0)?12diag(1?0?0)? ?(A)?P?(?)P?1

?1P?(?)P* |P|?111??100???2?2?2? ??2?10?2??000???303??1?11??000???12?1????????111? ?4?111??

?111???

21. 设Ak?O (k为正整数)? 证明(E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1? 证明 因为Ak?O ? 所以E?Ak?E? 又因为 E?Ak?(E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)? 所以 (E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?E? 由定理2推论知(E?A)可逆? 且 (E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1?

证明 一方面? 有E?(E?A)?1(E?A)?

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另一方面? 由Ak?O? 有

E?(E?A)?(A?A2)?A2?? ? ??Ak?1?(Ak?1?Ak) ?(E?A?A2?? ? ??A k?1)(E?A)? 故 (E?A)?1(E?A)?(E?A?A2?? ? ??Ak?1)(E?A)? 两端同时右乘(E?A)?1? 就有

(E?A)?1(E?A)?E?A?A2?? ? ??Ak?1?

22? 设方阵A满足A2?A?2E?O? 证明A及A?2E都可逆? 并求A?1及(A?2E)?1?

证明 由A2?A?2E?O得 A2?A?2E? 即A(A?E)?2E? 或 A?1(A?E)?E?

2由定理2推论知A可逆? 且A?1?1(A?E)?

2 由A2?A?2E?O得

A2?A?6E??4E? 即(A?2E)(A?3E)??4E? 或 (A?2E)?1(3E?A)?E

4由定理2推论知(A?2E)可逆? 且(A?2E)?1?1(3E?A)?

4

证明 由A2?A?2E?O得A2?A?2E? 两端同时取行列式得 |A2?A|?2? 即 |A||A?E|?2? 故 |A|?0?

所以A可逆? 而A?2E?A2? |A?2E|?|A2|?|A|2?0? 故A?2E也可逆? 由 A2?A?2E?O ?A(A?E)?2E

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?A?1A(A?E)?2A?1E?A?1?1(A?E)?

2又由 A2?A?2E?O?(A?2E)A?3(A?2E)??4E ? (A?2E)(A?3E)??4 E?

所以 (A?2E)?1(A?2E)(A?3E)??4(A?2 E)?1? (A?2E)?1?1(3E?A)?

4第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1? 把下列矩阵化为行最简形矩阵?

?102?1? (1)?2031??

?304?3????102?1? 解 ?2031?(下一步? r2?(?2)r1? r3?(?3)r1? )

?304?3????102?1? ~?00?13?(下一步? r2?(?1)? r3?(?2)? )

?00?20????102?1? ~?001?3?(下一步? r3?r2? )

?0010????102?1? ~?001?3?(下一步? r3?3? )

?0003????102?1? ~?001?3?(下一步? r2?3r3? )

?0001????102?1? ~?0010?(下一步? r1?(?2)r2? r1?r3? )

?0001????1000? ~?0010??

?0001???