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习题课(二) 数列求和
课时过关·能力提升
基础巩固
1设数列{a1
n}的前n项和为Sn,如果an=
(2??-1)(2??+1)
,那么??5等于( ).
A.1B.
5
2 C.41159D.9 解析:∵a1(2??-1)(2??+1)=1n=
2 12??-1
-1
2??+1 , ∴S1
1
11
11
11
5=2 1-3+3-5+5-7+7-9+
19-111 =115.
答案:B
2若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为( ). A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2
D.2n+n-2
解析:Sn=(2+22+?+2n)+(1+3+5+?+2n-1)
??
=2(11--22)+(1+2??-1)??2=2??+1?2+??2.
答案:C
3数列{an}的通项公式a1n= ??+ ??+1,若该数列前??项的和为10,则项数为( ).
A.11 B.99 C.120 D.121
解析:∵an=
1 ??+ ??+1= ??+1? ??,
∴Sn= ??+1?1=10, ∴n=120.
答案:C
4数列12×5,15×8,18×11,…,1(3??-1)(3??+2)
,…的前??项和为( ). A.
????3??+2B.6 C.3??????+1+46??+4D.??+2 解析:∵
111(3??-1)(3??+2)=3 3??-1-1
3??+2 ,
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111
11
11
∴所求和为3 2-5+5-8+8-11+?+
11111??- = - =.
3??-13??+2323??+26??+4答案:B
5已知数列{an},其前n项和为Sn,且an=-2[n-(-1)n],则S10= . 解析:S10×11
10=-2[(1+2+3+?+10)+(1-1+1-1+?+1-1)]=-2 2+0 =?110. 答案:-110
6已知a1n=ln 1+??
(??∈N*),则数列{an}的前n项和为Sn= . 解析:∵a+1
n=ln
????=ln(??+1)?lnn, ∴Sn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+?+[ln(n+1)-lnn]=ln(n+1)-ln1=ln(n+1).
答案:ln(n+1)
7设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.
解(1)由题意得 ????1+??2=4,2=2??1+1,则 ????1=1,2=3.
又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*. (2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.
??-2
??
当n≥3时,T9(1-3)(??+7)(??-2)3-??2-5??+11
n=3+1-3
?2=2,
2,??=1,
所以Tn= 3??-??2-5??+11
,??≥2,??∈N*.
28已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列
1
????2??+1
的前??项和.
2??-1解(1)设等差数列{a??(??-1)
n}的公差为d,则Sn=na1+
2??. 由已知可得 3??1+3??=0,5??
1+10??=-5,
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解得a1=1,d=-1.
故数列{an}的通项公式为an=2-n. (2)由(1)知
11
= ??2??-1??2??+1(3-2??)(1-2??)
=
1
的前n项和为
??2??-1??2??+1
111 - , 22??-32??-1从而数列
1111111 -+-+?+- 2-11132??-32??-1=
??
. 1-2??9已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. 解(1)等比数列{bn}的公比q=
??39
==3, ??23所以b1=
??2=1,??4=??3??=27. ??设等差数列{an}的公差为d. 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(n=1,2,3,?). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列{cn}的前n项和 Sn=1+3+?+(2n-1)+1+3+?+3n-1
??(1+2??-1)1-3=+
21-3??
3-1
=??2+.
2??
能力提升
1数列{an},{bn}都是等差数列,a1=5,b1=7,且a20+b20=60,则{an+bn}的前20项和为( ). A.700
B.710
C.720
D.730
20(??1+??1+??20+??20)20×(12+60)
==
22解析:数列{an+bn}也是等差数列,其首项为12,第20项为60,所以其前20项和为720. 答案:C
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2已知数列{an}的通项公式an=A.13 解析:∵an=
??
2-1321
??,其前??项和????=64,则??的值为( ). 2
??
B.10
2-11??
=1? , ??22
C.9 D.6
1 1-1 22??13211
∴Sn=n?=???1+??==5+, 1646421-2∴n=6.
答案:D
3已知数列{an}:,+,++,+++,…,则数列
111
B.4 -
??+12??+1111
C.1?D.? ??+12??+11123
2134
24
3145
25
35
45
1
的前??项和为( ).
????????+1
A.4 1-
1+2+3+?+????2解析:∵an===,
??+1??+12??(??+1)
∴bn=????==4 - .
??(??+1)????+1????+1∴Sn
=4 1-+-+-+?+-=4 1-答案:A
4已知数列{an}的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+?+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是 A.13
B.-76
C.46
D.76
( ).
1 . ??+1121123113411
????+11411
解析:∵S15=1+(-5+9)+(-13+17)+?+(-53+57)=1+4×7=29,S22=(1-5)+(9-13)+?+(81-85)=-4×11=-44,S31=1+(-5+9)+(-13+17)+?+(-117+121)=1+4×15=61,
∴S15+S22-S31=29-44-61=-76.
答案:B
5在数列{an}中,an=?? sin
??π??π
+cos ,前??项和为????,则??100= . 22
解析:易知a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=4,
∴a1+a2+a3+a4=0.
又sin
??π??π
+cos的周期为4, 22∴an+an+1+an+2+an+3=0,∴S100=0.
答案:0
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