(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：
p1：?x0∈(0，＋∞)，()x0?()x0； p2：?x0∈(0,1)，log1x0?log1x0；
2312131?x
p3：?x∈(0，＋∞)，??2?＞log1x；
211
0，?，??x＜log1x. p4：?x∈??3??2?3其中真命题是( ) A．p1，p3 C．p2，p3 答案 D
解析 对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有()x0?()x0成立，故p1是假命题；
B．p1，p4 D．p2，p4
12131111
对于p2，当x0＝时，有1＝log1＝log1＞log1成立，故p2是真命题；
22322331?x
对于p3，结合指数函数y＝??2?与对数函数y＝log1x在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是
2假命题；
1?x
?0，1?上的图象，可以判断p4是真logx对于p4，结合指数函数y＝?与对数函数y＝在1?2??3?3命题．
命题点2 含一个量词的命题的否定
1?x
典例 (1)命题“?x∈R，??3?＞0”的否定是( ) A．?x0∈R，()x0＜0 1?xC．?x∈R，??3?＜0
131?x
B．?x∈R，??3?≤0 D．?x0∈R，()x0≤0
13答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．
(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“?x0∈R，1＜f(x0)≤2”的否定形式是( ) A．?x∈R，1＜f(x)≤2 B．?x0∈R，1＜f(x0)≤2 C．?x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)＞2 D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2 答案 D
解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”． 思维升华 (1)判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
2C．?x0∈R，使x30＋ax0＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)
D．?a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点 答案 B
ππ
解析 取α＝，β＝－，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，A正确；
24ππ
2x＋?＝cos 2x是偶函数，B错误； 取φ＝，函数f(x)＝sin?2??2
对于三次函数y＝f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，
2
又f(x)在R上为连续函数，故?x0∈R，使x30＋ax0＋bx0＋c＝0，C正确；
111
ln x＋?2－≥－，所以?a>0，函数当f(x)＝0时，ln2x＋ln x－a＝0，则有a＝ln2x＋ln x＝?2?4?4f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点，D正确，综上可知，选B.
(2)(2017·福州质检)已知命题p：“?x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则綈p为( ) A．?x0∈R，ex0－x0－1≥0
B．?x0∈R，ex0－x0－1>0 C．?x∈R，ex－x－1>0 D．?x∈R，ex－x－1≥0 答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“?x∈R，ex－x－1>0”，故选C. 题型三 含参命题中参数的取值范围
典例 (1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)
解析 若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0， 即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题， a
则－≤3，即a≥－12.
4
∵p∧q是真命题，∴p，q均为真， ∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．
1?x
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝??2?－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________． 1?答案 ??4，＋∞?
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时， 1
g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，
411得0≥－m，所以m≥. 44引申探究
本例(2)中，若将“?x2∈[1,2]”改为“?x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是___________． 1
，＋∞? 答案 ?2??
1
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
21
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，
2
1∴m≥.
2
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
1
跟踪训练 (1)已知命题“?x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围2是( )
A．(－∞，－1) C．(－3，＋∞) 答案 B
1
解析 原命题的否定为?x∈R，2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2
21
－4×2×＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.
2
11?
，，2x 答案 ??5，1? 2x 解析 由2x x＋111??2x?4?又x∈?4，2?时，?2＝， ?max 5?x＋1?4 故当p为真时，m>； 5 函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2， 令f(x)＝0，得2x＝若f(x)存在零点， 则 2－m－1>0，解得m<1， 2－m－1， B．(－1,3) D．(－3,1) 故当q为真时，m<1. 4? 若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是??5，1?.
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