中考几何压轴题
（几何模型30讲）
最 新 讲 义
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专题21《等腰三角形的存在性》
破解策略
以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：
等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）．
A
A B B
图1
D 图2
C
解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：
（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．
如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题．
（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验． 有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好． 例题讲解
例1 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在AB边上，AE＝3，F是BC边上不与B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′＝ ． A E
D
B′
B
F
C
解 16或45
①如图1，当CB′＝CD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去； ②如图2，当DB′＝CD时，DB′＝16；
③如图3，当DB′＝B′C时，过点B作GH∥AD，交AB于点G，交CD于点H． 显然G，H分别为AB，CD的中点．
由题意可得B′E＝13，DH＝BG＝8，所以EG＝5， 从而B′G＝B′E2－EG2＝12，B′H＝4， 所以DB′＝B?H2－DH2＝45．
2
A E
B′
D
B
图1
C (F)
②如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）． 图2 ③如图3所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°． 图3 当B′C＝B′D时，AG＝DH＝12DC＝8． 由AE＝3，AB＝16，得BE＝13． 由翻折的性质，得B′E＝BE＝13． ∴EG＝AG－AE＝8－3＝5， ∴B′G＝B'E?EG?12， ∴B′H＝GH－B′G＝16－12＝4， ∴DB′＝B'H?DH?45
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方
3
2222向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连
接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解：如图，过点P作PH⊥AC于H， ∵∠C＝90°，∴AC⊥BC， ∴PH∥BC， ∴△APH∽△ABC， PHAP∴＝， BCAB∵AC＝4cm，BC＝3cm， ∴AB＝5cm， PH5?t∴＝ 3t34(5?t)∴PH＝3﹣t，AH＝ 55∴QH＝4?
931829t?18t?25 t，PQ＝(4?t)2?(3?t)2?55555； 2在△APQ中， ①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝②当PQ＝AQ，即18225t?18t?25＝t时，解得：t2＝，t3＝5； 51318240t?18t?25＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝； 513③当PQ＝AP，即∵0＜t＜4， ∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去， ∴当t为52540s或s或s时，△APQ是等腰三角形． 213135． 4例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝1，OC＝2，点D在边OC上且OD＝（1）求直线AC的解析式； （2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4
解：（1）设直线AC的解析式y＝kx＋b， 又∵OA＝1，OC＝2， ∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k＝?12，b＝1 直线AC的函数解析式：y＝?12x?1 （2）若DC为底边， 5?2∴M的横坐标为4132＝8， 则点M的坐标为（1338，16） ∴直线DM解析式为：y＝152x?8 ∴P（0，?58）； 若DM为底，则CD＝CM＝34， ∴AM＝AN＝5?34， ∴N（5?34，1）， 可求得直线DM的解析式为y＝（5＋2）x－54（5+2）， ∴P（0，－54（5+2）） 若CM为底，则CD＝DM＝34 ∴点M的坐标为（435，5） ∴直线DM的解析式为y＝－43x＋53， ∴点P的坐标为（0，53） 综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，?5），（0，－584（5+2）），（5
0，53）
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