将（2）式代入（5）式，可得
'?d?2rurd42?()?d rdrurd3??()2?d （6）
ru'drrd3即秋千每摆荡半圈时，其角速率增加()2倍；因此每摆荡一圈，则角速率增加(d)3倍。
ruru秋千摆荡的角幅和其在最低点的角速率成正比。若秋千摆荡n圈后，角幅增为起始时的两
倍，则
13nrd3n2?()?(210)3n?210
run?评分标准：本题20分．
10 （7） 3（1）或（2）式4分，（3）、（4）式均3分，（5）式3分，（6）式4分，（7）式3分．
五、参考解答：
1．考察自P发出的任一光线PA，设其与主轴夹角为?，如图所示。设光线在球面上入射角为i，折射角为r，由折射定律
sini1? （1） sinrn在△PCA中应用正弦定理，有
sinisinr? （2） RRn比较（1）、（2）两式，在?为锐角的情况下（r必为锐角），有
??r （3） 而r=∠QAC，Q为折射光的反向延长线与主轴交点，于是△QAC∽△APC，及
QCR?，RRn即
QC?nR （4）
与?角无关，得证。
物理竞赛复赛卷 第13页（共8页）
2．两透镜的几何位形如图所示。
设C1为接透镜（L1）的球心，从S（物）发出的光经L1折射后成像于S’。由上小题可知S'C1?n1R1，则S'O1?n1R1?R1?(n1?1)R。应使S’发出的光无折射地进入第二个透镜（L2）的前球面，故S’为前球面中心，且前球面半径
R2?S'O2?S'O1?d1?(n1?1)R1?d1?9.5mm （5）
为使S’位于L2的齐明点，又使L2的中央厚度为d2，应有
S'O3?RR33?n 2S'O3?R2?d2?(n1?1)R1?d1?d2 由（6）、（7）两式可解得后球面半径
Rn1?1)R1?d1?d23?(?6.77mm 1?1n2图中S''为S’经L2后所成的像[S''O3?(n2?1)R3]，C3为后球面的球心。
S发出的光的孔径角?满足
tan??R1R?n1 1n1S经L1所成像S’的孔径角设为?1，则
tan?1?R1n?1 1R1n1?1又是L2的物点的孔径角，?1则为最后的像S''的孔径角。由图不难看出，
tan??S'Asin?1R2sin?1S'Acos?1?S''S'?R 2cos?1?S''S'（忽略透镜边缘厚度）而
S''S'?n12R3?nR3 2???arctanR2sin?1?20.00 R2cos?1?(n2?1n)R32物理竞赛复赛卷 第14页（共8页）
6） 7）
8）
9） 10） 11）
12）
13）
（ （ （ （（ （ （（
?k?k1?k2?n1R1n2R22??n12?n2?5.76 （14） R1R2n1n2【点评】本题是齐明点概念在显微镜物镜中的应用，这种物镜称为油浸物镜，是显微
镜物镜的主要形式之一。
评分标准：本题20分．
第1小问6分．（1）式1分，（2）式2分，（3）式1分，（4）式2分．
第2小问14分．作图3分，（5）式2分，（8）式3分，（11）式2分，（13）式2分，（14）式2分．
六、参考解答：
假定地球和木星的轨道均为圆形，则向心力=太阳的引力，有
2GMEMSvE （1） ?ME2RERE2GMJMSvJ （2） ?MJ2RJRJ其中G为引力常量，MS为太阳质量，ME为地球质量，MJ为木星质量，RE为地球轨道半
径，RJ为木星轨道半径，vE为地球公转速度，vJ为木星公转速度。因而
RJv?(E)2 （3） REvJ已知
TE?2??E2??2?RE （4） vE2?RJ （5） vJTJ?（4）、（5）两式相比，得
?J?RE3TEvERE2??() （6） RTJRJJvJ由此得
2TRJ?RE(J)3?779.8?106km （7）
TE相对角速度
物理竞赛复赛卷 第15页（共8页）
???E??J?0.0158rad/day （8）
相对速度
v??RE?27.3km/s （9）
木星与地球距离可表示为
d(t)?RJ?RE （10）
22d(t)?RJ?RE?2RERJcos?t
R?RJ[1?2Ecos?t??]2
RJ?RJ(1?REcos?t??) （11） RJRE的平方项引起]的数量级为 RJRE2)?4% （12） RJ1上述表达式的相对误差[由略去的
(当观测者在距离d(t)时看到卫星M从阴影中出现，当他在距离d(t?T0)时看到卫星下一次从阴影中出现。光行进距离?d?d(t?T0)?d(t)需要时间，因而观测者看到的是表观周期T而非真实周期T0。
?d?RE[cos?t?cos?(t?T0)]?Re?T0sin?t （13）
因为?T0?0.03，sin?T0??T0，cos?T0?1。我们也可从图的几何关系中直接得到上述近似表达式。
我们也可用另一种方法计算?d。由图得
????? （14）
物理竞赛复赛卷 第16页（共8页）
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