2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据
试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A D B C D A
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15
题是选做题，考生只能选做一题．
题号 答案 9 2 10 3 11 4 12 13 14 15 2 10?2011 2?1或?5 2 3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分1）
（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：（1）因为函数f(x)?sinx?acosx的图象经过点??，0?，所以f???π?3???????0． ?3?即sin???π??π??acos?????0． 3???3?即?3a??0． 22解得a?3．
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（2）方法1：由（1）得f(x)?sinx?3cosx．
所以g(x)?[f(x)]?2?sinx?3cosx?2
2??2?sin2x?23sinxcosx?3cos2x?2 ?3sin2x?cos2x
?3?1?2?sin2x?cos2x ??2?2???????2?sin2xcos?cos2xsin?
66??π???2sin?2x??．
6??所以g(x)的最小正周期为
2???． 2因为函数y?sinx的单调递增区间为?2k??所以当2kπ??????,2k????k?Z?， 22?πππ?2x??2kπ??k?Z?时，函数g(x)单调递增， 262ππ即kπ??x?kπ??k?Z?时，函数g(x)单调递增．
36所以函数g(x)的单调递增区间为?kπ?方法2：由（1）得f(x)?sinx?3cosx
??ππ?,kπ???k?Z?． 36??????2?sinxcos?cosxsin?
33??π???2sin?x??．
3???π???所以g(x)?[f(x)]?2??2sin?x????2
3????22π???4sin2?x???2
3??数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 13 页
2π????2cos?2x??分
3??所以函数g(x)的最小正周期为
2???分 2因为函数y?cosx的单调递减区间为?2k?,2k?????k?Z?，
2??2k????k?Z?时，函数g(x)单调递增． 3ππ即kπ??x?kπ?（k?Z）时，函数g(x)单调递增．
36所以当2k??2x?所以函数g(x)的单调递增区间为?kπ???ππ?,kπ???k?Z?． 36?
17．（本小题满分1）
（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，
由已知A1，A2，A3相互独立，且满足
2?PA?,??1?5?6?1?PA1?PA?, ??????????1??3?25?3?PAPA?.????23?10?解得P?A2??13，P?A3??． 2513，． 25所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为（2）?的可能取值为1，3．
因为P???3??P?A1A2A3??PA1A2A3 ?P?A?A1?P2?
??A???P?3?1?A?1?P?1?????P?2A???1???P3 A???
2133126???????． 52552525619?所以P???1??1?P???3??1?． 2525数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 13 页
所以?的分布列为
? P 所以E??1?1 3
19 256 2519637?3??． 252525
18．（本小题满分1）
（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
推理论证法：
（1）证明：连结B1D1，BD，
因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以AC11?B1D1． 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，DD1?平面A1B1C1D1，
D1 C1 B1
F B
A1 E D C
AC11?DD1． 11?平面A1B1C1D1，所以AC因为B1D1A DD1?D1，B1D1，DD1?平面BB1D1D，
所以AC11?平面BB1D1D．
因为EF?平面BB1D1D，所以EF?AC11． （2）解：取C1C的中点H，连结BH，则BH在平面BB1C1C中，过点F作FGAE．
AE．
D1 BH，则FGC1
G B1 H
F B
A1 连结EG，则A，E，G，F四点共面．
E D 1111C1C?a，HG?BF?C1C?a， 22331所以C1G?C1C?CH?HG?a．
61故当C1G?a时，A，E，G，F四点共面．
6因为CH?
（3）延长EF，DB，设EFC
A DB?M，连结AM，
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