2014年广州市一模数学试题及答案（理科）

（2）假设函数f(x)在?1,???上存在“域同区间”[s,t](1?s?t)，

由（1）知函数f(x)在?1,???上是增函数，

?(s?12)?se?s,?f(s)?s,所以? 即? 2t?f(t)?t.?(t?1)?e?t.也就是方程(x?1)2ex?x有两个大于1的相异实根． 设g(x)?(x?1)2ex?x(x?1)，则g?(x)?(x2?1)ex?1．

2x设h?x??g?(x)?(x2?1)ex?1，则h??x??x?2x?1e．

??因为在(1,??)上有h??x??0，所以h?x?在?1,???上单调递增． 因为h?1???1?0，h?2??3e?1?0，

2即存在唯一的x0??1,2?，使得h?x0??0．

当x??1,x0?时，h?x??g??x??0，即函数g(x)在?1,x0?上是减函数； 当x??x0,???时，h?x??g??x??0，即函数g(x)在?x0,???上是增函数． 因为g?1???1?0，g(x0)?g(1)?0，g(2)?e2?2?0， 所以函数g(x)在区间?1,???上只有一个零点．

这与方程(x?1)2ex?x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数f(x)在?1,???上不存在“域同区间”．

数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 13 页 共 13 页