2020年中考数学总复习最值系列：胡不归问题

2020年中考数学总复习最值系列：“胡不归”问题

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

BV1V1驿道砂石地AV2C

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1

ACBC的值最小． ?V2V1BV1MNAV2C

【问题分析】

?VVACBC1??=?BC?1AC?，记k?1， V2V1V1?V2V2?即求BC+kAC的最小值．

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【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

BMsinα=ACHACα=kHCNDCH=kAC

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

BMAαHCND

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

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