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D．r(A)答案：D
?r(A)?n
?x1?x2?a1?x2?x3?a25. 设线性方程组?02?1?2?1??1?10?102???01?11???01?A???11?32?????????2?15?3???0?11?1???000，则方程组有解的充分必要
??x1?2x2?x3?a3条件是（ ）． A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0
答案：C 三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1)
y??ex?y
答案：?e?y?ex?c
dyxex（2）dx?3y2
答案：
y3?xex?ex?c
2. 求解下列一阶线性微分方程：
（1）
y??2x?1y?(x?1)3 答案：y?(x?1)2(12x2?x?c)
（2）y??yx?2xsin2x
答案：
y?x(?cos2x?c)
3.求解下列微分方程的初值问题： (1)
y??e2x?y,y(0)?0
答案：ey?12ex?12 (2)xy??y?ex?0,y(1)?0
答案：
y?1x(ex?e) 4.求解下列线性方程组的一般解：
?x1?2x3?x4?0（1）???x1?x2?3x3?2x4?0
??2x1?x2?5x3?3x4?0答案：??x1??2x3?x4（其中?xx1,x2是自由未知量）
2?x3?x4所以，方程的一般解为
??x1??2x3?x4?xx1,x2是自由未知量）
2?x3?x（其中4
?2x1?x2?x3?x4?（2）?1?x1?2x2?x3?4x?4?2
?x1?7x2?4x3?11x4?5?答案：?x161??x43?x4??555（其中x?1,x是自由未知量） ?x37322?5x3?5x4?55.当?为何值时，线性方程组
??x1?x2?5x3?4x4?2??2x1?x2?3x3?x4?13x2x ?1?2?2x3?3x4?3??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。 答案：
??x1??7x3?5x4?1x?13x（其中x1,x2是自由未知量） ?2?3?9x4?35．a,b为何值时，方程组
??x1?x2?x3?1?x1?x2?2x3?2 ??x1?3x2?ax3?b答案：当a??3且b?3时，方程组无解；
当a??3时，方程组有唯一解；
当a??3且b?3时，方程组无穷多解。
6．求解下列经济应用问题： （1）设生产某种产品
q个单位时的成本函数为：
C(q)?100?0.25q2?6q（万元）,
求：①当q?10时的总成本、平均成本和边际成本；
②当产量q为多少时，平均成本最小？
答案：①C(10)?185（万元）
C(10)?18.5（万元/单位）
--
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C?(10)?11（万元/单位）
②当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。 （2）.某厂生产某种产品
q件时的总成本函数为
C(q)?20?4q?0.01q2（元），单位销售价格为
，问产量为多少时可使利润达到最大？最p?14?0.01q（元/件）大利润是多少．
答案：当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为。 L(250)?1230（元）
（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为
C?(q)?2q?40(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总
成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
?C?100（万元）
当x?6（百台）时可使平均成本达到最低.
答案：
（4）已知某产品的边际成本C?(q)=2（元/件），固定成本为0，边际收益
R?(q)?12?0.02q，求：
①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
答案：①当产量为500件时，利润最大.
②
?L? - 25 （元）
即利润将减少25元.
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