题型六 二次函数与几何图形综合题
类型一 二次函数与图形判定
22
1．(2017·陕西)在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax－2x－3与抛物线C2：y＝x＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
(1)求抛物线C1，C2的函数表达式； (2)求A、B两点的坐标；
(3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.
2
2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
23243
已知抛物线y＝－x－x＋23与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B
33的左侧)，与x轴负半轴交于点C.
(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；
若不存在，请说明理由．
2
(2017·许昌模拟)已知：如图，抛物线y＝ax－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
4
4．(2016·河南)如图①，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物
322
线y＝x＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x
3轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
(3)如图②，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.
类型二 二次函数与图形面积
1
1．(2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴
212
交于点C，抛物线y＝－x＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.
2
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，S1
求的最大值； S2
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2017·安顺)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C
2
两点的抛物线y＝x＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).
2
3．(2017·周口模拟)如图，抛物线y＝ax＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；
(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.
2
4．(2017·濮阳模拟)如图①，已知抛物线y＝ax＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？
(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．
类型三 二次函数与线段问题
1．(2017·南宁)如图，已知抛物线y＝ax－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.
(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
11
(3)证明：当直线l绕点D旋转时，＋均为定值，并求出该定值．
AMAN
2
3
2．(2017·焦作模拟)如图①，直线y＝x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，－
412
1)，抛物线y＝x＋bx＋c经过点B，点C的横坐标为4.
2
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)如图②，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x(0＜x＜4)，矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
2
3．(2017·武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax＋bx上． (1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.
类型四 二次函数与三角形相似
1．(2016·南宁)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求证：△ABC是直角三角形； (3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2
2．(2017·平顶山模拟)如图，抛物线y＝ax＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．
(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.
3．如图①，二次函数y＝ax＋bx＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM面积的最大值；
23
(3)抛物线的对称轴交x轴于点P，过点E(0，)作x轴的平行线，交AB于点F，是
3否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
2
2
4．(2017·海南)抛物线y＝ax＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.
①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.
题型六 第23题二次函数与几何图形综合题
类型一 二次函数与图形判定
1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3， ∴C1的对称轴为x＝1，
∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，
22
∴C1的函数表示式为y＝x－2x－3，C2的函数表达式为y＝x＋2x－3；
22
(2)在C2的函数表达式为y＝x＋2x－3中，令y＝0可得x＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)； (3)存在．
设P(a，b)，则Q(a＋4，b)或(a－4，b)， ①当Q(a＋4，b)时，得： 22
a－2a－3＝(a＋4)＋2(a＋4)－3， 解得a＝－2，
2
∴b＝a－2a－3＝4＋4－3＝5， ∴P1(－2，5)，Q1(2，5)． ②当Q(a－4，b)时，得： 22
a－2a－3＝(a－4)＋2(a－4)－3， 解得a＝2.
∴b＝4－4－3＝－3，
∴P2(2，－3)，Q2(－2，－3)．
综上所述，所求点的坐标为P1(－2，5)，Q1(2，5)； P2(2，－3)，Q2(－2，－3).
2．解：(1)∵抛物线y＝－
23243
x－x＋23， 33
2323
∴其梦想直线的解析式为y＝－x＋，
33
2323?y＝－x＋?33
联立梦想直线与抛物线解析式可得?
2343y＝－x－x＋2??33
2
3
??x＝－2?x＝1
，解得? 或?，
?y＝0?y＝23?
∴A(－2，23)，B(1，0)；
(2)当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形， 如解图①，过A作AD⊥y轴于点D，则AD＝2，
23243
在y＝－x－x＋23中，令y＝0可求得x＝－3或x＝1，
33∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC＝（－2＋3）＋（23）＝13，
由翻折的性质可知AN＝AC＝13，
22在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝AN－AD＝13－4＝3，
2
2
∵OD＝23，∴ON＝23－3或ON＝23＋3，
当ON＝23＋3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意， ∴N点坐标为(0，23－3)；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如解图②，
MD
在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝23，∴tan∠DAM＝＝3，∴∠DAM＝60°，
AD∵AD∥x轴，∴∠AMC＝∠DAM＝60°， 又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°， ∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3， 13333∴MP＝MN＝，NP＝MN＝，
2222333
∴此时N点坐标为(，)；
22
333
综上可知N点坐标为(0，23－3)或(，)；
22
(3)①当AC为平行四边形的边时，如解图③，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴
于点K，
则有AC∥EF且AC＝EF，∴∠ACK＝∠EFH，
∠ACK＝∠EFH??
在△ACK和△EFH中，?∠AKC＝∠EHF，
??AC＝EF∴△ACK≌△EFH(AAS)，
∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝23，
∵抛物线对称轴为x＝－1，∴F点的横坐标为0或－2，
23
∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F(0，)，此时点E在直线AB下方，
3234343
∴E到x轴的距离为EH－OF＝23－＝，即E点纵坐标为－，∴E(－1，－
333
43
)； 3
当F点的横坐标为－2时，则F与A重合，不合题意，舍去； ②当AC为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)，
5
∴线段AC的中点坐标为(－，3)，
2
5
设E(－1，t)，F(x，y)，则x－1＝2×(－)，y＋t＝23，
2∴x＝－4，y＝23－t，
232343
代入直线AB解析式可得23－t＝－×(－4)＋，解得t＝－，
33343103
∴E(－1，－)，F(－4，)；
33
432343
综上可知存在满足条件的点F，此时E(－1，－)、F(0，)或E(－1，－)、
333103
F(－4，).
3
??0＝16a－8a＋c?a＝－?
2， 3．解：(1)由题意，得?，解得?
??4＝c?
?c＝4
12
∴所求抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4；
2
(2) 设点Q的坐标为(m，0)，如解图①，过点E作EG⊥x轴于点G. 12
由－x＋x＋4＝0，得x1＝－2，x2＝4，
2∴点B的坐标为(－2，0)，∴AB＝6，BQ＝m＋2，
EGBQEGm＋22m＋4
∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴＝，即＝，∴EG＝，
COBA463
1112m＋412281
∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·EG＝(m＋2)(4－)＝－m＋m＋＝－(m
22233333－1)＋3，
又∵－2≤m≤4，
∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，0)；
2
1
图① 图② (3)存在．在△ODF中． (ⅰ)若DO＝DF，
∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2，
又∵在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，
∴∠DFA＝∠OAC＝45°，
∴∠ADF＝90°，此时，点F的坐标为(2，2)， 12
由－x＋x＋4＝2，
2
得x1＝1＋5，x2＝1－5，此时，点P的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO＝FD，如解图②，过点F作FM⊥x轴于点M， 由等腰三角形的性质得：OM＝MD＝1，∴AM＝3， ∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)， 12
由－x＋x＋4＝3，得x1＝1＋3，x2＝1－3，
2此时，点P的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD＝OF，
∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，
∴AC＝42，∴点O到AC的距离为22，而OF＝OD＝2＜22，与OF≥22矛盾， ∴AC上不存在点使得OF＝OD＝2，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
所求点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3).
4
4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y＝－x＋n上，
34
∴n＝4，∴y＝－x＋4，
3令y＝0，解得x＝3，∴A(3，0)，
22
∵抛物线y＝x＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)，∴c＝－2，6＋3b－2＝0，
34
解得b＝－，
3
224
∴抛物线的解析式为y＝x－x－2；
33(2)∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上， 224
∴P(m，m－m－2)，
33
∵PD⊥x轴，BD⊥PD，∴点D坐标为(m，－2)， 224
∴|BD|＝|m|，|PD|＝|m－m－2＋2|，
33当△BDP为等腰直角三角形时，PD＝BD， 224224
∴|m|＝|m－m－2＋2|＝|m－m|.
3333
2242712
∴m＝(m－m)，解得：m1＝0(舍去)，m2＝，m3＝，
332271
∴当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或；
22(3)∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，
43
∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝，
55
①当点P′落在x轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，
224
由旋转知，P′D′＝PD＝m－m，
33
ND′3
在Rt△P′D′N中，cos∠ND′P′＝＝cos∠PBP′＝，
P′D′53224
∴ND′＝(m－m)，
533
D′M4
在Rt△BD′M中，BD′＝－m，sin∠DBD′＝＝sin∠PBP′＝，
BD′54
∴D′M＝－m，∴ND′－MD′＝2，
532244
∴(m－m)－(－m)＝2， 5335
解得m＝5(舍去)或m＝－5，如解图②，
32244
同①的方法得，ND′＝(m－m)，MD′＝m，
5335ND′＋MD′＝2， 32244
∴(m－m)＋m＝2， 5335∴m＝5或m＝－5(舍去)，
45＋4－45＋4∴P(－5，)或P(5，)，
33
②当点P′落在y轴上时，如解图③，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N， ∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，
42243
同①的方法得：P′N＝(m－m)，BM＝m，
5335∵P′N＝BM，
42243
∴(m－m)＝m， 533525
解得m＝或m＝0(舍去)，
82511∴P(，)，
832
45＋4－45＋42511
∴P(－5，)或P(5，)或P(，). 33832类型二 二次函数与图形面积
1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， 12
∵抛物线y＝－x＋bx＋c经过A、C两点，
213???0＝－×16－4b＋c?b＝－22， ∴?， 解得????2＝c?c＝2123
∴y＝－x－x＋2；
22
123
(2)①令y＝0，∴－x－x＋2＝0，
22
解得x1＝－4，x2＝1，∴B(1，0)，
如解图①，过D作DM∥y轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N， S1DEDM
∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴＝＝，
S2BEBN1231
设D(a，－a－a＋2)，∴M(a，a＋2)，
22212
－a－2a25S1DM
∵B(1，0)，∴N(1，)，∴＝＝＝
2S2BN5
2142
－(a＋2)＋； 55
S14∴当a＝－2时，有最大值，最大值是；
S25②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC＝25，BC＝5，AB＝5，
222
∵AC＋BC＝AB，
3
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P(－，0)，
25
∴PA＝PC＝PB＝，∴∠CPO＝2∠BAC，
24
∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝，
3
如解图②，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G， 情况一：∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，
1RC1
∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即＝，
2DR2
123123
令D(a，－a－a＋2)，∴DR＝－a，RC＝－a－a，
2222123
－a－a221∴＝，
－a2
解得a1＝0(舍去)，a2＝－2， ∴xD＝－2，
情况二：∠FDC＝2∠BAC， 4
∴tan∠FDC＝，
3
设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k， 3k1
∵tan∠DGC＝＝，∴FG＝6k，
FG2∴CG＝2k，DG＝35k，∴RC＝45115
DR＝35k－k＝k，
55
115k5DR－a29
∴＝＝，解得a1＝0(舍去)，a2＝－， RC2512311
－a－ak22529
∴点D的横坐标为－2或－.
11
2．解：(1)∵直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B(3，0)，C(0，3)，
??9＋3b＋c＝0
把B、C坐标代入抛物线解析式可得?，
?c＝3???b＝－4
解得?，
??c＝3
2545
k，RG＝k， 55
∴抛物线的解析式为y＝x－4x＋3；
22
(2)∵y＝x－4x＋3＝(x－2)－1， ∴抛物线对称轴为x＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，
2
2
2
2
2
2
∴MC＝2＋（t－3）＝t－6t＋13，MP＝|t＋1|，PC＝2＋（－1－3）＝25， ∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC＝MP、MC＝PC和MP＝PC三种情况，
332
①当MC＝MP时，则有t－6t＋13＝|t＋1|，解得t＝，此时M(2，)；
22
②当MC＝PC时，则有t－6t＋13＝25，解得t＝－1(与P点重合，舍去)或t＝7，此
时M(2，7)；
③当MP＝PC时，则有|t＋1|＝25，解得t＝－1＋25或t＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；
3
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为(2，)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－
225)；
2
(3)如解图，在0＜x＜3对应的抛物线上任取一点E，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
2
设E(x，x－4x＋3)，则F(x，－x＋3)， ∵0＜x＜3，
22
∴EF＝－x＋3－(x－4x＋3)＝－x＋3x，
1111332272
∴S△CBE＝S△EFC＋S△EFB＝EF·OD＋EF·BD＝EF·OB＝×3(－x＋3x)＝－(x－)＋，
2222228333
∴当x＝时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为(，－)，
22433
即当E点坐标为(，－)时，△CBE的面积最大.
243．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l为x＝－1，∴B(－3，0)，
?a＋b－3＝0?a＝1??
∴?，解得?， ??9a－3b－3＝0b＝2??
∴抛物线的解析式为y＝x＋2x－3；
(2)如解图①，过点P作PM⊥x轴于点M，
2
设抛物线对称轴l交x轴于点Q.
∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°， ∴∠PBM＋∠NBQ＝90°.
∵∠PMB＝90°，∴∠PBM＋∠BPM＝90°， ∴∠BPM＝∠NBQ.
又∵∠BMP＝∠BQN＝90°，PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ，∴PM＝BQ.
2
∵抛物线y＝x＋2x－3与x轴交于点A(1，0)和点B，且对称轴为x＝－1， ∴点B的坐标为(－3，0)，点Q的坐标为(－1，0)， ∴BQ＝2，∴PM＝BQ＝2.
2
∵点P是抛物线y＝x＋2x－3上B、C之间的一个动点， ∴结合图象可知点P的纵坐标为－2，
22
将y＝－2代入y＝x＋2x－3，得－2＝x＋2x－3，
解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．
如解图②，连接AC，PC.
2
可设点P的坐标为(x，y)(－3＜x＜0)，则y＝x＋2x－3， ∵点A(1，0)，∴OA＝1.
∵点C是抛物线与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－3，即点C(0，－3)，∴OC＝3. 由(2)可知S
四边形PBAC
＝S△BPM＋S
四边形PMOC
1111
＋S△AOC＝BM·PM＋(PM＋OC)·OM＋OA·OC＝(x
2222
11333
＋3)(－y)＋(－y＋3)(－x)＋×1×3＝－y－x＋，
22222
3233332752
将y＝x＋2x－3代入可得S四边形PBAC＝－(x＋2x－3)－x＋＝－(x＋)＋.
2222283
∵－＜0，－3＜x＜0，
2
375152
∴当x＝－时，S四边形PBAC有最大值，此时，y＝x＋2x－3＝－.
284
31575
∴当点P的坐标为(－，－)时，四边形PBAC的面积最大，最大值为.
2484．解：(1)把y＝0代入直线的解析式得x＋1＝0，解得x＝－1，∴A(－1，0)．
∵抛物线的对称轴为x＝1，∴B的坐标为(3，0)．
将x＝0代入抛物线的解析式得y＝－3，∴C(0，－3)．
设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，将C(0，－3)代入得－3a＝－3，解得a＝1，
2
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x－2x－3； (2)如解图①，连接OP.
将x＝0代入直线AD的解析式得y＝1，∴OD＝1.
由题意可知P(t，t－2t－3)． ∵S四边形DCPB＝S△ODB＋S△OBP＋S△OCP，
1113292
∴S＝×3×1＋×3×(－t＋2t＋3)＋×3×t，整理得S＝－t＋t＋6，
2222233275配方得：S＝－(t－)＋，
228
375
∴当t＝时，S取得最大值，最大值为；
28
(3)如解图②，设点D′的坐标为(a，a＋1)，O′(a，a)．
当△D′O′E的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB′＝1∶2. ∵O′B′＝OB＝3，∴O′E＝1， ∴E(a＋1，a)．
22
将点E的坐标代入抛物线的解析式得(a＋1)－2(a＋1)－3＝a，整理得：a－a－4＝0，1＋171－17
解得a＝或a＝，
22
1＋171＋171－171－17
∴O′的坐标为(，)或(，)，
2222∴OO′＝2＋3434－2或OO′＝， 22
2＋3434－2
或， 22
2
∴△DOB平移的距离为
当△D′O′E的面积∶△D′EB′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB′＝2∶1.
∵O′B′＝OB＝3，∴O′E＝2，∴E(a＋2，a)．
22
将点E的坐标代入抛物线的解析式得：(a＋2)－2(a＋2)－3＝a，整理得：a＋a－3＝0，－1＋13－1－13
解得a＝或a＝.
22
－1＋13－1＋13－1－13－1－13
∴O′的坐标为(，)或(，)．
2222－2＋262＋26
∴OO′＝或OO′＝. 22－2＋262＋26
∴△DOB平移的距离为或.
22综上所述，当△D′O′B′沿DA方向平移平移2＋342＋26
或单位长度，或沿AD方向22
34－2－2＋26
或个单位长度时，ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 22
类型三 二次函数与线段问题
11．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a＝3，解得a＝－. 3令y＝0，得ax－23ax－9a＝0，
2
∵a≠0，∴x－23x－9＝0，解得x＝－3或x＝33. ∴点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(33，0)， ∴抛物线的对称轴为x＝3； (2)解：∵OA＝3，OC＝3，
2
∴tan∠CAO＝3，∴∠CAO＝60°.
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO＝30°， ∴DO＝
3
AO＝1，∴点D的坐标为(0，1)， 3
设点P的坐标为(3，a)．
22222
∴AD＝4，AP＝12＋a，DP＝3＋(a－1).
2
当AD＝PA时，4＝12＋a，方程无解．
2
当AD＝DP时，4＝3＋(a－1)，解得a＝0或a＝2， ∴点P的坐标为(3，0)或(3，2)．
22
当AP＝DP时，12＋a＝3＋(a－1)，解得a＝－4.
∴点P的坐标为(3，－4)．
综上所述，点P的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);
(3)证明：设直线AC的解析式为y＝mx＋3，将点A的坐标代入得－3m＋3＝0，解得m＝3，
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3. 设直线MN的解析式为y＝kx＋1.
1
把y＝0代入y＝kx＋1，得kx＋1＝0，解得：x＝－，
k113k－1
∴点N的坐标为(－，0)，∴AN＝－＋3＝.
kkk
2
将y＝3x＋3与y＝kx＋1联立，解得x＝，
k－3
2
∴点M的横坐标为.
k－3
2
如解图，过点M作MG⊥x轴，垂足为G.则AG＝＋3.
k－3
∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°， 423k－2
∴AM＝2AG＝＋23＝.
k－3k－3
11k－3kk－32k3k－33（3k－1）3
∴＋＝＋＝＋＝＝＝. AMAN23k－223k－123k－223k－223k－22（3k－1）3
2．解：(1)∵直线l：y＝x＋m经过点B(0，－1)，∴m＝－1，
43
∴直线l的解析式为y＝x－1，
4
3
∵直线l：y＝x－1经过点C，且点C的横坐标为4，
4
3
∴y＝×4－1＝2，
4
12
∵抛物线y＝x＋bx＋c经过点C(4，2)和点B(0，－1)，
215???×42＋4b＋c＝2?b＝－
4， ∴?2，解得?
???c＝－1?c＝－1125
∴抛物线的解析式为y＝x－x－1；
2434
(2)令y＝0，则x－1＝0，解得x＝，
4344
∴点A的坐标为(，0)，∴OA＝，
33在Rt△OAB中，OB＝1，∴AB＝OA＋OB＝∵DE∥y轴，∴∠ABO＝∠DEF，
OB3
在矩形DFEG中，EF＝DE·cos∠DEF＝DE·＝DE，
AB5OA4
DF＝DE·sin∠DEF＝DE·＝DE，
AB54314
∴l＝2(DF＋EF)＝2×(＋)DE＝DE，
555∵点D的横坐标为t(0＜t＜4)， 1253
∴D(t，t－t－1)，E(t，t－1)，
244312512
∴DE＝(t－1)－(t－t－1)＝－t＋2t，
424214127228
∴l＝×(－t＋2t)＝－t＋t，
525572872
∵l＝－(t－2)＋，且－＜0，
55528
∴当t＝2时，l有最大值；
5
(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．
2
2
4225（）＋1＝， 33
4
如解图③，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m＋，
312514254
∴m－m－1＝(m＋)－(m＋)－1， 2423437解得m＝，
12
4
如解图④，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m＋，B1的纵坐标比A1的纵坐标大1，
3125142544∴m－m－1＋1＝(m＋)－(m＋)－1，解得m＝， 242343374
∴旋转180°时点A1的横坐标为或.
123
3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y＝ax＋bx中，
1a＝2??a－b＝1
得?，解得， ?16a＋4b＝61?
b＝－
2
2
?????
121
∴抛物线的解析式为y＝x－x；
22
(2)证明：设直线AF的解析式为y＝kx＋m，
将点A(－1，1)代入y＝kx＋m中，即－k＋m＝1， ∴k＝m－1，
∴直线AF的解析式为y＝(m－1)x＋m. 联立直线AF和抛物线解析式成方程组， y＝（m－1）x＋m??x1＝－1??x2＝2m??
??，解得，， ?1212??y＝1y＝2m－my＝x－x?1?2
?2?2
∴点G的坐标为(2m，2m－m)．
∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为(2m，0)． 1211
∵抛物线的解析式为y＝x－x＝x(x－1)，
222∴点E的坐标为(1，0)．
设直线AE的解析式为y＝k1x＋b1，
1k＝－??2??－k＋b＝1
将A(－1，1)，E(1，0)代入y＝kx＋b中，得?，解得?，
?k＋b＝01?
??b＝2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
11
∴直线AE的解析式为y＝－x＋.
22设直线FH的解析式为y＝k2x＋b2，
???k2＝－?b2＝m2， 将F(0，m)、H(2m，0)代入y＝k2x＋b2中，得?，解得：?
?2mk2＋b2＝0??
?b2＝m
1
1
∴直线FH的解析式为y＝－x＋m.∴FH∥AE；
2
(3)解：设直线AB的解析式为y＝k0x＋b0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y＝k0x＋b0中，
???－k0＋b0＝1?k0＝1?，解得?， ?4k0＋b0＝6?b0＝2??
∴直线AB的解析式为y＝x＋2.
当运动时间为t秒时，点P的坐标为(t－2，t)，点Q的坐标为(t，0)．
当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．
∵QM＝2PM， ∴
QM′MM′2
＝＝， QP′PP′3
42
∴QM′＝，MM′＝t，
3342
∴点M的坐标为(t－，t)，
33121
又∵点M在抛物线y＝x－x上，
22214214
∴t＝(t－)－(t－)， 3232315±113解得t＝，
6
当点M在线段QP的延长线上时，
同理可得出点M的坐标为(t－4，2t)， 121
∵点M在抛物线y＝x－x上，
22112
∴2t＝×(t－4)－(t－4)，
2213±89
解得t＝. 2
15－11315＋11313－8913＋89
综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM＝
66222PM.
类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，
2
∴设抛物线解析式为y＝a(x－1)＋1，
2
又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)＋1，解得a＝－1，
22
∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)＋1，即y＝－x＋2x，
??y＝－x＋2x
联立抛物线和直线解析式可得?，
?y＝x－2???x＝2??x＝－1
?解得或?， ?y＝0??y＝－3?
2
∴B(2，0)，C(－1，－3)；
(2)证明：如解图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点， 则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，EC＝3， ∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形；
2
(3)解：假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x，－x＋2x)，
2
∴ON＝|x|，MN＝|－x＋2x|，
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝2，BC＝32， ∵MN⊥x轴于点N
∴∠MNO＝∠ABC＝90°，
MNONMNON
∴当△MNO和△ABC相似时有＝或＝，
ABBCBCAB
MNON|－x＋2x||x|1①当＝时，则有＝，即|x|×|－x＋2|＝|x|，
ABBC3232∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形， ∴x≠0，
1157
∴|－x＋2|＝，即－x＋2＝±，解得x＝或x＝，
333357
此时N点坐标为(，0)或(，0)，
33
MNON|－x＋2x||x|
②当＝时，则有＝，即|x|×|－x＋2|＝3|x|，
BCAB322∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5或x＝－1， 此时N点坐标为(－1，0)或(5，0)，
57
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(－1，0)或(5，0).
33
22
???a＝－?3a＋c＝03， 2．解：(1)把A、C两点坐标代入直线y＝－ax＋c可得?，解得?
??c＝1?
?c＝1
1
∴直线的表达式为y＝x＋1，
3
112
把A点坐标和a＝－代入抛物线解析式可得9×(－)－3b＋1＝0，解得b＝－，
333
1
122
∴抛物线的表达式为y＝－x－x＋1；
33(2)∵点D为抛物线在第二象限部分上的一点， 1221
∴可设D(t，－t－t＋1)，则F(t，t＋1)，
333
1221121323
∴DF＝－t－t＋1－(t＋1)＝－t－t＝－(t＋)＋.
3333324
13335
∵－＜0，∴当t＝－时，DF有最大值，最大值为，此时D点坐标为(－，)；
32424122
(3)设P(m，－m－m＋1)，如解图，
33122
∵P在第四象限，∴m＞0，－m－m＋1＜0，
33122
∴AN＝m＋3，PN＝m＋m－1，
33
∵∠AOC＝∠ANP＝90°，
∴当以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似时有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP，
OCAO13
①当△AOC∽△PNA时，则有＝，即＝，
NAPNm＋3122
m＋m－133解得m＝－3或m＝10，经检验当m＝－3时，m＋3＝0(舍去)，
∴m＝10，此时P点坐标为(10，－39)；
OCAO13
②当△AOC∽△ANP时，则有＝，即＝，
NPAN122m＋3
m＋m－133解得m＝2或m＝－3，经检验当m＝－3时，m＋3＝0(舍去)， 5
∴m＝2，此时P点坐标为(2，－)；
3
5
综上可知P点坐标为(10，－39)或(2，－).
3
?9a＋3b＋33＝0，?a＝－3
3．解：(1)将A、G点坐标代入函数解析式，得?，解得?，
?a－b＋33＝0?b＝23
∴抛物线的解析式为y＝－3x＋23x＋33；
(2)如解图①，作ME∥y轴交AB于E点，
当x＝0时，y＝33，即B点坐标为(0，33)， 直线AB的解析式为y＝－3x＋33，
2
设M(n，－3n＋23n＋33)，E(n，－3n＋33)，
22
ME＝－3n＋23n＋33－(－3n＋33)＝－3n＋33n，
2
1133322732
S△ABM＝ME·AO＝(－3n＋33n)×3＝－(n－)＋，
222283273当n＝时，△ABM面积的最大值是；
28
(3)存在；
232373理由如下：OE＝，AP＝2，OP＝1，BE＝33－＝，
333232377
当y＝时，－3x＋33＝，解得x＝，即EF＝，
3333
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)，
∵OB⊥EF，∴点B′在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO－PO长度， 2323
∴C点坐标为(－，－1)，
33如解图，过F作FQ∥B′C，交EC于点Q， BEB′ECE
则△FEQ∽△B′EC，由＝＝＝3，
EFEFEQ23
可得Q的坐标为(－，－)；
33
253
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q′(－，)也符合条件.
334．解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)，
3a＝5??a＋b＋3＝0
?∴，解得， ?25a＋5b＋3＝018?
b＝－
5
2
?????
3218
∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x－x＋3；
55(2)①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方， 3218
∴可设P(t，t－t＋3)(1＜t＜5)，
55
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N， 3
∴M(t，0)，N(t，t＋3)，
5
33218372147∴PN＝t＋3－(t－t＋3)＝－(t－)＋，
5555220
3
y＝x＋3??5
联立直线CD与抛物线解析式可得?，
318??y＝5x－5x＋3
2
?x＝0???
解得?或?36，
??y＝3?y＝
x＝7
?
5
36∴C(0，3)，D(7，)，
5
分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如解图①，
则CE＝t，DF＝7－t，
11773721472172
∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝PN·CE＋PN·DF＝PN＝[－(t－)＋]＝－(t－)＋
222252201021029
， 40
71029
∴当t＝时，△PCD的面积最大，最大值为；
240②存在．
∵∠CQN＝∠PMB＝90°，
NQPMNQBM
∴当△CNQ与△PBM相似时，有＝或＝两种情况，
CQBMCQPM∵CQ⊥PN，垂足为Q，
3
∴Q(t，3)，且C(0，3)，N(t，t＋3)，
533NQ3
∴CQ＝t，NQ＝t＋3－3＝t，∴＝，
55CQ53218
∵P(t，t－t＋3)，M(t，0)，B(5，0)，
55
32183218
∴BM＝5－t，PM＝0－(t－t＋3)＝－t＋t－3，
5555
NQPM332183
当＝时，则PM＝BM，即－t＋t－3＝(5－t)，解得t＝2或t＝5(舍去)，此时CQBM55559
P(2，－)；
5
NQBM33321834
当＝时，则BM＝PM，即5－t＝(－t＋t－3)，解得t＝或t＝5(舍去)，此CQPM555593455时P(，－)；
927
93455
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(2，－)或(，－).
5927
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