（2），（5）;
228?2p?2， y?2px15．[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有
解得p=16. 所以抛物线方程为y?32x，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的
AF?2(x,y)FM定比分点，且，设点M的坐标为00，则
2?2x08?2y0?8,?01?21?2，解得x0?11,y0??4，
2所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：y?4?k(x?11)(k?0).
?y?4?k(x?11),?22由?y?32x消x得ky?32y?32(11k?4)?0，
所以
y1?y2?y1?y232??4k，由（2）的结论得2，解得k??4.
因此BC所在直线的方程为：4x?y?40?0.
16．[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，
则
2??y?ax?1①?2???x?ay?1 ②，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0，
x?y?∴a?
3
4．
11,即y?x?aa，代入②得a2x2－ax－a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得
xy?1C(,)2217．[解析]：设R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB的中心为，L:y=kx－1,代入抛
物线方程得x2－4kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，
即|k|＞1 ①，
x12?x22(x1?x2)2?2x1x2?y1?y2???4k2?244，∵C为AB的中点.
xx2?x2??2k22y?1y2?y2??2k2?12∴ 2
x?4k2?y?4k?3，消去k得x2=4(y+3),由① 得，x?4，故动点R的轨迹方程为
x2=4(y+3)( x?4)．
72x?2x?(?m)?0y?2x?m218． [解析]：（1）由题意设过点M的切线方程为：，代入C得，
75511??4?4(?m)?0?m??x0??1,y0??2??22，即M（－1，2）22，则．
（2）当a＞0时，假设在C上存在点Q(x1,y1)满足条件．设过Q的切线方程为：y?kx?n，代入
7?x2?(4?k)x?(7?n)?0y?x?4x?2??0?(k?4)?14?4n ， 22，则
2y1?a11k?4k2?2k??????k2?4a?k??2aPQx1?,y1?kx1?2k24．若k?0时，由于且，
x1?a?2x1??a?2∴
y1?a?11y1?a?2或 21Q(?2,?)2也满足要求． ；若k=0时，显然
12a?1，2）及（－2，－2），
a∴有三个点（－2＋a且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：
2a?1，2），（－2－x＋2ay＋2－2aa＝0，x－2ay＋2＋2aa＝0，x＝－2.
1当a≤0时，在C上有一个点（－2，－2），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x
＝－2.
§2.5圆锥曲线单元测试
x2y2??161.D; 2.D; 3.D; 4.B; 5.A; 6.D; 7.D; 8.B; 9.C; 10.B; 11. C; 12.D; 13. 8或13y24x2x29y2??1??1252520;14. 5;15. 2ab;16. 4;
17. 解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
?x22?y?1?29?x?y2?1?y?x?229.联立方程组?,消去y得, 10x?36x?27?0.
设A(
x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0)那么:
x1?x2??18x1?x29?x5 5,0=21yx所以0=0+2=5.
91也就是说线段AB中点坐标为(-5,5).
418. 解:由于椭圆焦点为F(0,?4),离心率为e=5,所以双曲线的焦点为F(0,?4),离心率为2,
从而c=4,a=2,b=23. y2x2??1412所以求双曲线方程为: .
2(x?a)2?y2?x2?2ax?a2?y2?x2?2ax?a2?2xy?2x19. 解:由于,|PA|= =x2?2(a?1)x?a2=[x?(a?1)]2?2a?1,其中x?0
(1)a?1时,当且仅当x=0时, f(a)=|PA|min=|a|. (2)a>时, 当且仅当x=a-1时, f(a)=|PA|min=2a?1.
??|a|,a?1??2a?1,a?1.
所以f(a)=?20. 解:设双曲线方程为x2-4y2=?.
?x2-4y2=??x?y?3?0,消去y得，3x2-24x+(36+?)=0
联立方程组得: ?x1?x2?8??36???xx??123?2x,y那么：?x,y???24?12(36??)?0 设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(11),B(22)，
(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?1)(82?4?36??8(12??)83)??333
那么：|AB|= x2?y2?1解得: ?=4,所以，所求双曲线方程是：4
?3x2-y2=1?y?ax?121. 解：（1）联立方程?，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0.
2a?x?x?12?3?a2?2?x1x2???3?a2?22???(2a)?8(3?a)?0?x,yx,y设A(11),B(22),那么：?
????????xx?y1y2?0。
由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：OA?OB，即12xx?(ax1?1)(ax2?1)?0，得到：(a所以：12源:Zxxk.Com]2?1)??22a?a??1?0,a2?6223?a3?a，解得a=?1[来
(2)假定存在这样的a，使A(
x1,y1),B(x2,y2)关于直线
y?1x2对称。
?3x12-y12=1y1-y23(x1+x2)=.......(*)?2222223x-y=13(x1-x2)=y1-y2，从而x1-x2y1+y2那么：?22，两式相减得：
因为A(
x1,y1),B(x2,y2)关于直线
y?1x2对称，所以
?y1+y21x1+x2=??22?2?y1-y2???2x1-x2??
代入（*）式得到：-2=6，矛盾。
也就是说：不存在这样的a，使A(
x1,y1),B(x2,y2)关于直线
y?1x2对称。
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