21．（10分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线y=（x＞0）交线段BC于点P（不与端点B、C重合），交线段AB于点Q
（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标； （2）求k的取值范围；
（3）连接PQ，AC，判断：PQ∥AC是否总成立？并说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA，
∵点B坐标（4，3）， ∴BC=4，AB=3， ∵PC=PB，
∴点P坐标（2，3）， ∴反比例函数解析式y=， ∵点Q的横坐标为4， ∴点Q的坐标为（4，）．
（2）设点P坐标（x，3），则0＜x＜4， 把点P（x，3）代入y=得到，x=， ∴0＜＜4， ∴0＜k＜12．
（3）结论：PQ∥AC总成立．
理由：设P（m，3），Q（4，n），则3m=4n=k， ∴
=
=
=
，
=∴
=
=，
=，
∵∠B=∠B， ∴△BPQ∽△BCA， ∴∠BPQ=∠BCA， ∴PQ∥AC．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点m在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8， （1）求证：AE=CD；
（2）求点C坐标和⊙M直径AB的长； （3）求OG的长．
【解答】解：（1）∵点C是∴
，
的中点，
∵AB⊥CD，
∴由垂径定理可知：∴
，
=
，
∴，
∴AE=CD；
（2）连接AC、BC， 由（1）可知：CD=AE=8， ∴由垂径定理可知：OC=CD=4， ∴C的坐标为（0，4），
由勾股定理可求得：CA2=22+42=20， ∵AB是⊙M的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=∠CAB， ∴△CAO∽△BAC， ∴
，
∴CA2=AO?AB， ∴AB=
=10；
（3）由（1）可知：∴∠ACD=∠CAE， ∴AG=CG， 设AG=x，
，
∴CG=x，OG=OC﹣CG=4﹣x，
∴由勾股定理可求得：AO2+OG2=AG2， ∴22+（4﹣x）2=x2， ∴x=， ∴OG=4﹣x=
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．
（1）当抛物线C经过点A（﹣5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围； （3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题： 关于x的方程x﹣4=
在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y=mx2+4x+1经过点A（﹣5，6）， ∴6=25m﹣20+1，解得m=1，
∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）∵抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间，
∴当x=﹣1时，y＞0，且△≥0，即 解得：3＜m≤4；
，
（3）方程x﹣4=
的解即为方程x2﹣4x﹣a+3=0的解，
而方程x2﹣4x﹣a+3=0的解即抛物线y=x2﹣4x﹣a+3与x轴交点的横坐标， ∵方程在0＜x＜4范围内有两个解， ∴当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0， 即
，
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