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2016年浙江省杭州市西湖区中考数学二模试卷及答案

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21.(10分)如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的一边OA在x轴上,点B的坐标为(4,3),双曲线y=(x>0)交线段BC于点P(不与端点B、C重合),交线段AB于点Q

(1)若P为边BC的中点,求双曲线的函数表达式及点Q的坐标; (2)求k的取值范围;

(3)连接PQ,AC,判断:PQ∥AC是否总成立?并说明理由.

【解答】解:(1)∵四边形OABC是矩形, ∴BC∥OA,

∵点B坐标(4,3), ∴BC=4,AB=3, ∵PC=PB,

∴点P坐标(2,3), ∴反比例函数解析式y=, ∵点Q的横坐标为4, ∴点Q的坐标为(4,).

(2)设点P坐标(x,3),则0<x<4, 把点P(x,3)代入y=得到,x=, ∴0<<4, ∴0<k<12.

(3)结论:PQ∥AC总成立.

理由:设P(m,3),Q(4,n),则3m=4n=k, ∴

=

=

=

=∴

=

=,

=,

∵∠B=∠B, ∴△BPQ∽△BCA, ∴∠BPQ=∠BCA, ∴PQ∥AC.

22.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点m在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C,D两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(﹣2,0),AE=8, (1)求证:AE=CD;

(2)求点C坐标和⊙M直径AB的长; (3)求OG的长.

【解答】解:(1)∵点C是∴

的中点,

∵AB⊥CD,

∴由垂径定理可知:∴

=

∴,

∴AE=CD;

(2)连接AC、BC, 由(1)可知:CD=AE=8, ∴由垂径定理可知:OC=CD=4, ∴C的坐标为(0,4),

由勾股定理可求得:CA2=22+42=20, ∵AB是⊙M的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠CAB=∠CAB, ∴△CAO∽△BAC, ∴

∴CA2=AO?AB, ∴AB=

=10;

(3)由(1)可知:∴∠ACD=∠CAE, ∴AG=CG, 设AG=x,

∴CG=x,OG=OC﹣CG=4﹣x,

∴由勾股定理可求得:AO2+OG2=AG2, ∴22+(4﹣x)2=x2, ∴x=, ∴OG=4﹣x=

23.(12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=mx2+4x+1.

(1)当抛物线C经过点A(﹣5,6)时,求抛物线的表达式及顶点坐标; (2)若抛物线C:y=mx2+4x+1(m>0)与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间(不包括﹣1和0),结合函数的图象,求m的取值范围; (3)参考(2)小问思考问题的方法解决以下问题: 关于x的方程x﹣4=

在0<x<4范围内有两个解,求a的取值范围.

【解答】解:(1)∵抛物线C:y=mx2+4x+1经过点A(﹣5,6), ∴6=25m﹣20+1,解得m=1,

∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=(x+2)2﹣3, ∴抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣3);

(2)∵抛物线C:y=mx2+4x+1(m>0)与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间,

∴当x=﹣1时,y>0,且△≥0,即 解得:3<m≤4;

(3)方程x﹣4=

的解即为方程x2﹣4x﹣a+3=0的解,

而方程x2﹣4x﹣a+3=0的解即抛物线y=x2﹣4x﹣a+3与x轴交点的横坐标, ∵方程在0<x<4范围内有两个解, ∴当x=0时y>0,x=4时y>0,且△>0, 即

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