2020高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文

教材复习课“导数”相关基础知识一课过

导数的基本运算

[过双基]

1．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1x 2．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)．

1．下列求导运算正确的是( ) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝1

xln 2

C．(3x)′＝3xlog3e

D．(x2cos x)′＝－2sin x

解析：选B ′＝1－；(log2x)′＝；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝x2sin x，故选B.

2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( ) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2)

D．3(x2＋a2)

解析：选C ∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，

2xcos x－ 2019年

∴f′(x)＝3(x2－a2)．

3．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( ) A. C.

B.3 D.3 1016

解析：选D 因为f′(x)＝3ax2＋6x， 所以f′(－1)＝3a－6＝4， 所以a＝.

4．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．

解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，

所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3. 答案：3

[清易错]

1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q*，(cos x)′＝－sin x.

2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.

1．已知函数f(x)＝sin x－cos x，若f′(x)＝f(x)，则tan x的值为( ) A．1 C．－1

B．－3 D．2

解析：选B ∵f′(x)＝(sin x－cos x)′＝cos x＋sin x， 又f′(x)＝f(x)，

∴cos x＋sin x＝sin x－cos x， ∴tan x＝－3.

2．若函数f(x)＝2x＋ln x且f′(a)＝0，则2aln 2a＝( ) A．－1

B．1

2019年

C．－ln 2 D．ln 2

解析：选A f′(x)＝2xln 2＋，由f′(a)＝2aln 2＋＝0，得2aln 2＝－，则a·2a·ln 2＝－1，即2aln 2a＝－1.

导数的几何意义 [过双基]

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为

y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

1.(2018·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝

f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )

B．0 D．4

A．－1 C．2

解析：选B 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由

题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.

2．设函数f(x)＝xln x，则点(1,0)处的切线方程是________．

解析：因为f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.

答案：x－y－1＝0

3．已知曲线y＝2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．

解析：因为y′＝4x，设切点为(m，n)，则4m＝2，所以m＝，则n＝2×2＝，则

切点的坐标为.

11

?答案：??2，2???

4．函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，则f(1)＋

f′(1)＝________.

解析：因为函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，所以

f′(1)＝3，且f(1)＝3×1－2＝1，所以f(1)＋f′(1)＝1＋3＝4.

答案：4

2019年

[清易错]

1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )

A．－1或－ C．－或－

B．－1或4 D．－或7

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解析：选A 因为y＝x3，所以y′＝3x2， 设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)， 则在该点处的切线斜率为k＝3x，

所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，

当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1，所以选A.

2.(2017·兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．

解析：因为函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a，

所以解得?答案：3

利用导数研究函数的单调性 ?a＝－1，???b＝3.

[过双基]

1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的．(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的．

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(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．

2．利用导数判断函数单调性的一般步骤

(1)求f′(x)．

(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.

(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．

1．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是( )

B．(2，＋∞) A．(1,2) C．(－∞，1)

D．(－∞，1)和(2，＋∞)

解析：选A 解f′(x)＝6x2－18x＋12<0可得1

象可能是( )

解析：选D 当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符

合题意．

3．已知f(x)＝x2＋ax＋3ln x在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为

6?

B.??－∞，?

2

( )

??

A．(－∞，－2] C．[－2，＋∞)

D．[－5，＋∞)

解析：选C 由题意得f′(x)＝2x＋a＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立?g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立?Δ＝a2－24≤0或?－2≤a≤2或a>2?a≥－2，

故选C.

[清易错]

若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且

在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．

若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．