2019年
解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.
又∵f(x)在R上是单调增函数，∴f′(x)≥0恒成立，
∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.
?答案：??3，＋∞?
??
1
利用导数研究函数的极值与最值[过双基]
1．函数的极大值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点
的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
2．函数的极小值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极
大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最
小值．
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
B．2 D．4
A．1 C．3
解析：选A 由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点．
2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为( )
B．3 D．5
A．2 C．4
解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋
2019年
2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
3．(2017·济宁一模)函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
B．1 A. C．0
D．不存在
解析：选A f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得
0 4．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x有极值，则a的取值范围为________． 解析：f′(x)＝x－a＋＝(x>0)， 因为函数f(x)＝x2－ax＋ln x有极值， 令g(x)＝x2－ax＋1，且g(0)＝1>0， 所以解得a>2. 答案：(2，＋∞) 5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2 a的取值范围是________． 解析：由题意，f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x＝或a. 又∵x1<2 答案：(2,6) [清易错] 1．f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′(0)不存在． 2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A．y＝x3 C．y＝xe－x B．y＝ln(－x) D．y＝x＋x 2 解析：选D 因为A、B为单调函数，所以不存在极值，C不是奇函数，故选D. 2．设函数f(x)＝x3－3x＋1，x∈[－2,2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m 2019年 ＝________. 解析：f′(x)＝3x2－3， 由f′(x)>0可得x>1或x<－1， 由f′(x)<0可得－1 所以函数f(x)的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3， 所以M＝3，m＝－1， 所以M＋m＝2. 答案：2 一、选择题 1．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝－1，则a＝( ) A．e C. D.2 1 B.e 1 解析：选B 因为f′(x)＝，所以f′(1)＝＝－1，所以ln a＝－1，所以a＝. 2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( ) A．－1 C．2 B．1 D．－2 解析：选C 由曲线y＝x2＋ax＋b，得y′＝2x＋a， k＝2，?? 由题意可得解得?a＝0， ??b＝2， 所以2a＋b＝2. 3．函数y＝2x3－3x2的极值情况为( ) A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值 B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值 C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1 D．以上都不对 2019年 解析：选C y′＝6x2－6x， 由y′＝6x2－6x>0，可得x>1或x<0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y′＝6x2－6x<0，可得0 即单调减区间是(0,1)，所以函数在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－x2＋mln x在(1，＋∞)是减函数，则m的取值范围是( ) A．[1，＋∞) C．(－∞，1] B．(1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：选C 由题意，f′(x)＝－x＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m≤x2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x2>1，所以m≤1. 5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) C．(1,4) B．(0,3) D．(2，＋∞) 解析：选D 依题意得f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D. 6．已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝( ) A．0 C．2 B．1 D．3 解析：选B f(x)＝x(x2－2mx＋m2)＝x3－2mx2＋m2x，所以f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)．由f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，当1 7．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D.2 1 2019年 解析：选A 已知曲线y＝－3ln x(x>0)的一条切线的斜率为，由y′＝x－＝，得x＝3，故选A. 8．若函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，则实数a的取值范围是( ) A．[2,3] C．(－∞，2] B．(2,3] D．(－∞，2) 解析：选A 当x≤0时，0≤f(x)＝1－2x<1； 当x>0时，f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3x2－3， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝1－3＋a＝a－2.由题意得0≤a－2≤1，解得2≤a≤3，选A. 二、填空题 9．若函数f(x)＝x＋aln x不是单调函数，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋aln x不是单调函数，则需方程1＋＝0在(0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a<0. 答案：(－∞，0) 10．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3， ∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3， ∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8 11．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋3，则f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝×1＋3＝， ∴f(1)＋f′(1)＝＋＝4. 答案：4 12．已知函数g(x)满足g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋x2，且存在实数x0，使得
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