2019年
由题意，可得Δ＝2－4(a－aln x0)＝0， 则a＝4x(1－ln x0)．
令f(x)＝4x2(1－ln x)(x>0)，则f′(x)＝4x(1－2ln x)，
易知，函数f(x)＝4x2(1－ln x)在(0，)上是增函数，在(，＋∞)上是减函数， 所以函数f(x)＝4x2(1－ln x)的最大值是f()＝2e， 则正实数a的取值范围是(0,2e]． 答案：(0,2e]
角度四：切线的综合应用
5．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． (1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，
f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2.
故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0. (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－＞0. 设g(x)＝ln x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0. ①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，
x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，
故g′(x)＞0，
g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此g(x)＞0；
②当a＞2时，令g′(x)＝0， 得x1＝a－1－，x2＝a－1＋. 由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1， 故当x∈(1，x2)时，
2019年
g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.
综上，a的取值范围是(－∞，2]． [方法技巧]
利用导数解决切线问题的方法
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，
f(x0))，利用k＝求解．
1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 C．2 B．1 D．3
解析：选D y′＝a－，由题意得y′x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________． 解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
3．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
解析：y＝ln x＋2的切线方程为：
y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)， y＝ln(x＋1)的切线方程为：
y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点的横坐标为x2)，
11
＝??x1x2＋1，
∴???ln x1＋1＝ln
x2
x2＋1－，
x2＋1
解得x1＝，x2＝－，
2019年
∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，
∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 答案：1
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：∵y＝x＋ln x， ∴y′＝1＋，y′x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)． 由消去y，
得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案：8 一、选择题
1．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( ) A．－1 B.2 C．－2 D．2
解析：选A ∵y′＝，∴y′x＝＝－1，由条件知＝－1，∴a＝－1.
1
2019年
2．(2018·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 解析：选A ∵y＝1－＝，
B．y＝2x－1 D．y＝－2x－2
∴y′＝＝，y′x＝－1＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)， 即y＝2x＋1.
3．(2018·济南一模)已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为( )
A．e C. B．－e D．－e
1
解析：选C 法一：∵f(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)， ∴f′(x)＝.
设切点P(x0，ln x0)，
则切线的斜率为k＝f′(x0)＝＝kOP＝. ∴ln x0＝1，∴x0＝e，∴k＝＝.
法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y＝ln x及曲线y＝ln x经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.
4．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 C．－4 解析：选D ∵f′(x)＝，
B．－3 D．－2
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1. 又f(1)＝0，
∴直线l的方程为y＝x－1.
2019年
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1， 又因为y0＝x＋mx0＋(m＜0)， 解得m＝－2，故选D.
5．(2018·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为( )
A.∪ C.∪ B.???
2π
，π?? 3?π
5π?? 6?
D.??2，?
解析：选C 因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.
6．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )
A．x＋4y－2＝0 C．4x＋2y－1＝0 B．x－4y＋2＝0 D．4x－2y－1＝0
解析：选A y′＝＝，因为ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故选A.
二、填空题
7．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
解析：由题意，当x>0时，则－x<0，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，则f′(x)＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线的斜率f′(1)＝－2，则切线方程为y－(－3)＝－2(x－1)，即2x＋y＋1＝0.
答案：2x＋y＋1＝0
8．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 解析：∵y′＝，∴k＝，
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