19中考数学压轴题 二次函数动点问题（五）

2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（五）

1.如图，抛物线y＝－x ＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存

在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x ＋bx＋c得

?－1＋b＋c＝0?b＝－2 解得 ??c＝3－9－3b＋c＝0??2

2

∴该抛物线的解析式为y＝－x －2x＋3．

（2）存在．该抛物线的对称轴为x＝－

2

－2＝－1

2?(－1)∵抛物线交x轴于A、B两点，∴A、B两点关于抛物线的对称轴x＝－1对称．

由轴对称的性质可知，直线BC与x＝－1的交点即为所求的Q点，此时△QAC的周长最小，如图1．将x＝0代入y＝－x －2x＋3，得y＝3．∴点C的坐标为(0，3)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，

1?－3k＋b1＝0?k＝将B(－3，0)，C(0，3)代入，得 ? 解得?

b＝3b＝3?1?12

∴直线BC的解析式为y＝x＋3．

?x＝－1?x＝－1联立? 解得?∴点Q的坐标为(－1，2)．

y＝x＋3y＝2??（3）存在． 如图1 设P点的坐标为（x，（－3＜x＜0），如图2． －x －2x＋3）∵S△PBC ＝S四边形PBOC －S△BOC ＝S四边形PBOC －

2

19×3×3＝S四边形PBOC － 22当S四边形PBOC有最大值时，S△PBC就最大． ∵S四边形PBOC ＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC ＝

11BE·PE＋(PE＋OC)·OE 22 1

2211332927(x＋3)(－x －2x＋3)＋(－x －2x＋3＋3)(－x)＝－(x＋)＋＋ 222228＝

当x＝－

3927时，S四边形PBOC最大值为＋． 228927927． ＋－＝

2828∴S△PBC最大值＝当x＝－

2332315时，－x －2x＋3＝－(－)－2×(－)＋3＝． 2224∴点P的坐标为(－

315，)． 242.如图，已知抛物线y＝a(x－1)＋33(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时

间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位

和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)＋33，得0＝a(－2－1)＋33． ∴a＝－即y＝－

233∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)＋33 332

2

2

322383x ＋x＋． 333（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点

2332?(－3)3238323＝33． ×1 ＋×1＋

333∴xD＝－＝1，yD＝－

∴点D的坐标为(1，33)．

如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝33，AN＝3， ∴AD＝32＋(33)2＝6．∴∠DAO＝60°∵OM∥AD

2

①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．∴OP＝6∴t＝6（s） ②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．

过点O作OE⊥AD轴于E．在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1． （注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）

∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．∴t＝5（s） ············ 6分 ③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．∴t＝4（s） 综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形． （3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°． 又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6． ∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3） 过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ＝

3t． 2331132633×6×33－×(6－2t)×t＝(t－)＋ 9分

2282226333∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为．

82此时OQ＝6－2t＝6－2×

3333339＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．

444422333329)＋()2＝

244∴PQ＝PF2＋QF2＝(3.如图，已知直线y＝－

1x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，2过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 解：（1）C(3，2)，D(1，3)；

（2）设抛物线的解析式为y＝ax ＋bx＋c，

3

2

把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入

5?a＝－?6?c＝1?521717??得?a＋b＋c＝3 解得?b＝∴抛物线的解析式为y＝－x ＋x＋1；

666?9a＋3b＋c＝2???c＝1??（3）①当点A运动到点F（F为原B点的位置） ∵AF＝12＋22＝5，∴t＝

55． ＝1（秒）

当0＜ t ≤1时，如图1．B′F＝AA′＝5t ∵Rt△AOF∽Rt△∠GB ′F，∴∴B ′G＝

OAB?G． ＝

OFB?F51OA·B ′F＝×5t＝t

22OF正方形落在x轴下方部分的面积为S即为△B ′FG的面积S△B′FG ∴S＝S△B′FG＝

51′152

B F·B ′G＝×5t×t＝t

2224②当点C运动到x轴上时

CC?OB∵Rt△BCC ′∽Rt△∠AOB，∴． ＝

BCOA252OB∴CC ′＝·BC＝×5＝25，∴t＝． ＝2（秒）

1OA5当1＜ t ≤2时，如图2．

5t－5∵A ′B ′＝AB＝5，∴A ′F＝5t－5．∴A ′G＝

2∵B ′H＝

55t－5511t∴S＝S梯形A′B′HG＝(A ′G＋B ′H)·A ′B ′＝(t)·5＝＋2222255t－ 24③当点D运动到x轴上时DD′＝35,t＝当2＜ t ≤3时，如图3． ∵A ′G＝

5t－55t－535－5t ∴GD′＝5－ ＝222355＝3（秒）

∴D′H＝35－5t

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