全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 详解

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及高数部分详解 （仅供参考） 一、选择题 1。当x?0?时，与x等价的无穷小量是 （A）1?e应选（B） [解析] （A）1?e法应选（B） xx （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx 1?x11x，1?cosx~(x)2，由排除22（C）1?x?1~~?x ，ln 事实上limx?0?1?x21?x?limln(1?t)?ln(1?t)?lim[2t?1]?1。 2t?0?t?0?1?tt1?tx2。曲线y?1?ln(1?ex)，渐近线条数为 x（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 应选（D） [解析] 显然x?0是垂直渐近线； 又因为limy?0，所以直线y?0是水平渐近线； x???1?ln(1?ex)ln(1?ex)exx又因为lim?lim?lim?1 xx???x???x???xx1?e11?exxxxxlim[?ln(1?e)?x]?lim[ln(1?e)?x]?lim[ln(1?e)?lne]?limlnx?0 x???xx???x???x???e所以y?x是一条斜渐近线。 故应选（D） 3。如图，连续函数y?f(x)在区间[?3,?2]，[2,3]上的图形分别是直径为1上下半圆周，在区间[?2,0],[0,2]上的图形分别是直径为2的上下圆周。设F(x)?论正确的是 ?x0f(t)dt，则下列结35F(?2) （B）F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) 44（A）F(3)??应选（B） [解析]：由定积分的几何意义 11511F(3)???(1?)???，F(2)????1???，故应选（B） 24822

4。设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是 f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)（C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0 x?0x?0xx（A）若lim应选（D） [解析] （D）应该是可导的必要条件，但不充分，例如f(x)???1,x?0。 ?0,x?0)，则5。设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)(n?1,2,下列结论正确的是 （A）若u1?u2，则?un?必收敛 （B）若u1?u2，则?un?必发散 （C）若u1?u2，则?un?必收敛 （D）若u1?u2，则?un?必发散 应选（D） [解析] 考查数项级数?(un?1?n?1?un)，由于un?1?un?f(n?1)?f(n)?f?(?n) 由于f??(x)?0，所以f?(x)单调增加，而?n是单调增加的，所以f?(?n)?f?(?1)?u2?u1 而Sn?un?1?u1?nf?(?1)?n(u2?u1)，所以当u1?u2时，?un?必发散。 6。设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)有连续一阶偏导数），过第二象限内的点M和第四象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 （A）?TTf(x,y)dx （B）?f(x,y)dy T（C）f(x,y)ds （D）fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy T??应选（B） [解析]：（C）（A）（B）（D）?Tf(x,y)ds??1ds?0 TT???Tf(x,y)dx??1dx由定义可知一定大于零； f(x,y)dy??1dy?0 TTTfx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy?f(N)?f(M)?1?1?0 故应选（B） 7。设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是

（A）?1??2,?2??3,?3??1 （B）?1??2,?2??3,?3??1 （C）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 （D）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 ?2?1?1??100?????8。设矩阵A??12?1，B?010，则A与B ????????1?12???000??（A）合同，且相似 （B）合同但不相似 （C）不合同但相似 （D）既不合同，也不相似 （9）某人向统一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为p(0?p?1)，此人第四次射击恰好第二次击中目标的概率为 （A）3p(1?p)2 （B）6p(1?p)2 （C）3p2(1?p)2 （D）6p2(1?p)2 10。设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y?y的条件下，X的条件概率密度为 （A）fX(x) （B）fY(y) （C）fX(x)?fY(y) （D）fX(x)/fY(y) 二、填空题 11。?2111exdx?______ 3x1121111ttxx2edx??ed??tedt??(t?1)e?1xx?1x3121解：?2111?e2。 212。设f(u,v)为二元可微函数，z?f(xy,yx)，则解：?z?_____ ?x?z?f1?yxy?1?f2?yxlny?yxy?1?f1??yxlny?f2? ?x13。二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为_____ 解：特征方程为??4??3?0，所以??3,??1，对应齐次方程的通解为 Y?c1ex?c2e3x 设y*?ae2x是原方程的通解，代入方程得

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?ae2x?2e2x，从而a??2 所以通解为y?c1ex?c2e3x?2e2x。 14。设曲面?:x?y?z?1，则解：由对称性可得??(x?y)ds?_____。 ???(x?y)ds???yds ??又因为根据轮换对称性???yds???xds???zds???11(x?y?z)ds?A? 3??3? ?8343?? 323?0?015。设矩阵A???0??0100?010??，则A3的秩为_____ 001??000?1的概率为___ 2216。在区间(0,1)中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于三、 17。求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2，在区域D?(x,y)x?y?4,y?0上的最大值和最小值。 解：⑴由于fx?(x,y)?2x?2xy2，fy?(x,y)?4y?2xy，所以在D内驻点为 (2,1)、(?2,1) ⑵在y?0上，f(x,y)?x2,?2?x?2，最小最大值分别为0,4； ⑶在 x2?y2?4,y?0上 令F?x2?2y2?x2y2??(x2?y2) 解方程组 2?2??2x?2xy2?2?x?0?2 ?4y?2xy?2?y?0得(0,2)，(?2,0)，(2,0) ?x2?y2?4?⑷由于f(?2,1)?2，f(?2,0)?4，f(0,2)?8，f(0,0)?0， 所以最大值为8，最小值为0。 18。计算曲面积分

I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy， ?y2其中?为曲面z?1?x?(0?z?1)的上侧。 42y2解：令?1为z?0在曲面z?1?x?(0?z?1)内部分取下侧，则 42I????1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy ?1 ? ????(z?2z)dxdydz???3xydxdy ?1?1?dz??03zdxdy?1x2?y2?1?z41x2?y2?14??3xydxdy 1 ??dz??0211x?y2?1?z43zdxdy?6??z((1?z)dz?? 019。设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶连续导数且存在相同的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?) 证明：⑴若在(a,b)内相同点f(x),g(x)取得相同的最大值 设(a,b)内的c处，f(x),g(x)取得相同的最大值。 令F(x)?f(x)?g(x)，在区间[a,c],[c,b]上使用罗尔定理得，存在x1?(a,c)，x2?(c,b)使得F?(x1)?0,F?(x2)?0， 对F?(x)在区间[x1,x2]上用罗尔定理，存在??(x1,x2)?(a,b)，使得 F??(?)?0，即f??(?)?g??(?) ⑵若在(a,b)内不同点，f(x),g(x)取得相同的最大值 设(a,b)内的c,d，使得f(c),g(d)分别为f(x),g(x)的最大值 令F(x)?f(x)?g(x) 则F(c)F(d)?(f(c)?g(c))(f(d)?g(d))?(g(d)?g(c))(f(d)?f(c))?0 由零点定理可得，存在??(a,b)，使得F(?)?0