普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第五章-角动量

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第五章 角动量

习题解答

5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km,远地点高度d远=2384km,地球半径R地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒

m月v近（d近+R地）=m月v远（d远+R地） v近/v远=（d远+R地）/（d近+R地）

=（2384+6370）/（439+6370）≈1.29

??bsin?t?j的空间曲线运动，其中a、b及ω皆为常5.1.2 一个质量为m的质点沿着r?acos?ti数。求此质点所受的对原点的力矩。

解：

?????b?cos?t?v?dr/dt??a?sin?tij????b?2sin?t?a?dv/dt??a?2cos?tij???bsin?t????2(acos?tij)???2r

???F?ma??m?2r???????r?F??m?2r?r?0

5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场

???(12t?6)?F?(3t2?4t)ij中运动，其中t是时间。该质点在t=0时位于原点，且速度为零。求t=2时

该质点所受的对原点的力矩。

???F解：据质点动量定理的微分形式，dt?d(mv)?dv(m?1) ???(12t?6)??dv?[(3t2?4t)ij]dt

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???6(t2?t)?v?(t3?2t2)ij????6(t2?t)?dr?vdt?[(t3?2t2)ij]dt?r?tt322???0dr?i?0(t?2t)dt?6j?0(t?t)dt?432?23?r?(14t?3t)i?(2t?3t)j???(2?23?3?22)?r(2)?(1?24?2?23)ij43??v0t??t2?dv?i?(3t?4t)dt?j?(12t?6)dt00?ji??k

???(12?2?6)???18?F(2)?(3?22?4?2)ij?4ij????????(2)?r(2)?F(2)?(?43i?4j)?(4i?18j)?,????i?????????k?ij??j?0,ij?kj?i??????(2)??43?18k?4?4(?k)??40k

5.1.4地球质量为6.0×1024kg，地球与太阳相距149×106km，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。

????43i?4j2?(149?109)2解：L?mvr?m?r?6.0?10?

365?24?60?602246.0?2??1492??1042?2.65?1040kgm2/s 365?24?60?60

5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。

?????解：L?r?p?mr?v

??bsin?t???b?cos?t??m(acos?tij)?(?a?sin?tij)

22????m(ab?cos?tk?ab?sin?tk)?mab?k

5.1.6根据5.1.3题所给的条件，求质点在t=2时对原点的角动量。

?????解：L(2)?r(2)?p(2)?mr(2)?v(2)

? ????1?(?43i?4j)?12j??16k

5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g小球，沿半径

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为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N。如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？

解：设小球的质量为m=10×10-3kg,原来的运动半径为R1=40cm,运动速率为v1;后来的运动半径为R2=10cm,运动速率为v2.

先求小球原来的速率v1：据牛顿第二定律，F=mv12/R1，所以，

v1?R1F/m?0.4?10?3/10?2?0.2m/s

由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒，m v1R1=m v2R2，

v2=v1R1/R2=0.2×0.4/0.1=0.8m/s

在由R1→R2的过程中，只有拉力F做功，据动能定理，有

111AF?12mv2?2mv1?2m(v2?v1)?2m(v2?v1)(v2?v1)2222??10(0.8?0.2)(0.8?0.2)?3?10J12?2?3

5.1.8 一个质量为m的质点在o-xy平面内运动，其位置矢量为

???bsin?t?r?acos?tij，其中a、b和ω是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原

点角动量守恒。

证明：

????b?cos?t?v?dr/dt??a?sin?tij ??222???a?dv/dt??a?cos?ti?b?sin?tj???r⑴运动学观点：

?????bsin?t???b?cos?t?L?r?mv?(acos?tij)?m(?a?sin?tij)???i???????)?k显然与时间t无关，是个守恒量。 ?ij??j?0,ij??j?(?i???mab?sin2?tk??mab?k??L?mab?cos2?tk⑵动力学观点：

??????2?2??∵??r?F?r?ma?r?m(??r)??m?r?r?0,∴该质点角动量守恒。

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