学而思高中数学推理与证明.板块三.数学归纳法.学生版

【例30】已知数列?an?中，Sn?an1??1,an?0，求数列?an?的通项公式. 2an12

【例31】在数列?an?(n?N*)中，a1?1，Sn是它的前n项和，当n≥2时，an，Sn，Sn?成等比数列，求数列的通项公式．

【例32】设整数数列{an}满足a1?1，a2?12，a3?20，且an?3?2an?2?2an?1?an．证明：

任意正整数n， 1?4anan?1是一个整数的平方．

n?1，2，L．证明：对任意【例33】由正实数组成的数列?an?满足：an2≤an?an?1，n?N*，都有an?

1． n【例34】实数数列?an?定义如下a1?t，an?1?4an(1?an)，n?1，2，Kt?R，已知a2009?0

⑴证明：对任意n?N*，0≤an≤1； ⑵问有多少个不同的t，使得a2009?0．

?【例35】两个实数数列?xn?、?yn?满足：x1?y1?tan，

3xn?1?xn1?1?xn2，yn?1?yn?1?yn2，n?1，2，K

证明：n?1时，2?xnyn?3．

【例36】在数列?an?中，若它的前n项和Sn?1?nan(n?N*)．

a2，a3，a4的值； ⑴计算a1，⑵猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

【例37】已知函数f(x)?x?3设数列?an?满足a1?1，an?1?f(an)，数列?bn?满(x??1)，

x?1 5

(3?1)n足bn?an?3，n?N．用数学归纳法证明bn≤．

2n?1

?【例38】设数列a1，a2，…an…中的每一项都不为0．证明：?an?为等差数列的充分必

要条件是：对任何n?N，都有

111n． ??L??a1a2a2a3anan?1a1an?1题型五：其他类型题

【例39】已知函数f(n)(n?N*)，满足条件：①f(2)?2；② f(x?y)?f(x)?f(y)；

③ f(n)?N*；④当x?y时，有f(x)?f(y). (1) 求f(1)，f(3)的值；

(2) 由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式； (3) 证明你猜想的f(n)的解析式的正确性.

【例40】数列?an?，a1?1,an?1?2an?n2?3n(n?N?)

（Ⅰ）是否存在常数?，?使得数列?an??n2??n?是等比数列，若存在求?、? 的值，若不存在，说明理由。 （Ⅱ）设 bn?1，Sn?b1?b2?b3?L?bn求证：n?2时，

an?n?2n?16n5?Sn?

(n?1)(2n?1)3

?2an?1,n为偶数??2【例41】已知数列?an?满足：a1?0，an??n?1，n?2,3,4,L．

?2an?1,n为奇数?2??2（Ⅰ）求a5,a6,a7的值； （Ⅱ）设bn?a2n?12n，试求数列?bn?的通项公式；

（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论an与an?1的大小关系．

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