高三理科数学复习：函数专题

高三理科数学复习函数专题

一、函数三性的综合题 1、已知f(x)?log2(1?x)?41?mx(x?R)是偶函数。 21?x （I）求实常数m的值，并给出函数f(x)的单调区间（不要求证明）； （II）k为实常数，解关于x的不等式：f(x?k)?f(|3x?1|). （Ⅰ）?f(x)是偶函数, ?f(?x)?f(x), 1、解：

1?mxmx?14?log(1?x)?, 21?x21?x2?mx?0,?m?0.

1?f(x)?log2(1?x4)?,f(x)的递增区间为[0,??)，递减区间为(??,0].

1?x2?log2(1?x4)?（Ⅱ）?f(x)是偶函数 ,?f(x?k)?f(x?k),

不等式即f(x?k)?f(3x?1),由于f(x)在[0,??)上是增函数,

?x?k?3x?1, ?x2?2kx?k2?9x2?6x?1,

即8x?(6?2k)x?(1?k)?0,

22?(x?k?1k?1k?1k?13k?1)(x?)?0,??(?)?, 2424411k?1k?1?k?时，不等式解集为?； k?时，不等式解集为(?,)；

33421k?1k?1k?时，不等式解集为(,?).

324?x二、函数与方程、不等式、导数的综合

2．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ22）设函数f?x??1?e． （Ⅰ）证明：当x＞-1时，f?x??（Ⅱ）设当x?0时，f?x??x； x?1x，求a的取值范围． ax?1xx2、解：（Ⅰ）当x??1时，f(x)?当且仅当e?1?x

x?1 令g(x)?e?x?1 ， 则g?(x)?e?1.

当x?0时， g?(x)?0,g(x) 是增函数； 当x?0时，g?(x)?0,g(x)是减函数； 于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当x?R时，g(x)?g(0)即e?1?x.

1

xxx

所以当x>-1时，f(x)?x. x?1（Ⅱ）由题设x?0 ，此时f(x)?0

1xx?0,f(x)?，则 不成立；

aax?1ax?1x当a?0时， 令 h(x)=axf(x)+f(x)-x ，则f(x)?.当且仅当h(x)?0

ax?1当a<0时，若x??h?(x)?af(x)axf?(x)?f?(x)?1?af(x)?axf(x)?ax?f(x).

⑴当0?a?1时，由（Ⅰ）知x?(x?1)f(x). 2h?(x)?af(x)?axf(x)?a(x?1)f(x)?f(x).=(2a-1)f(x)?0

h(x)在?0,??)是减函数，h(x)?h(0)?0即f(x)?⑵当a>

1时，由⑴知x?f(x) 2x.ax?1

h?(x)?af(x)?axf(x)?ax?f(x)?af(x)?axf(x)?af(x)?f(x)?(2a?1?ax)f(x) 2a?1x. 时，h?((x)?0所以h(x)>h(0)=0，即f(x)?aax?11综上，a的取值范围是[0,].

2当0?x?3、设函数

f?x??ax3?3ax,g(x)?bx2?lnx(a,b?R)，已知它们在x?1处的切线互相平行.

（1）求b的值；

?f(x),x?02F(x)?（2）若函数，且方程F?x??a有且仅有四个解，求实数a的取值范围. ??g(x),x?03、解：（1）f'?x??3ax?3a?f'?1??0，g'?x??2bx?21?g'?1??2b?1，…2分 x依题意：2b?1?0，所以b?1；……………………………………………………4分 211?0，x??1,???时，g'?x??x??0，………5分 xx（2）x??0,1?时，g'?x??x?所以当x?1时，g?x?取极小值g?1??2当a?0时，方程F?x??a不可能有四个解；………7分 当a?0时，x????,?1?时，f'?x??0，

1；………………………………………6分 2yx???1,0?时f'?x??0，

?112O2a1x 2

所以x??1时，f?x?取得极小值f'??1?=2a，又f?0??0，所以F?x?的图像如下： 从图像可以看出F?x??a不可能有四个解。…………10分

2当a?0时，x????,?1?时，f'?x??0，x???1,0?时f'?x??0， 所以x??1时，f?x?取得极小值f'??1?=2a，又f?0??0，所以F?x?的图像如下：

y2a12?1122从图像看出方程F?x??a有四个解，则?a?2a，

2所以实数a的取值范围是(2,2)。………………12分 2O1x4、已知函数f(x)??x3?ax2?bx?c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点。

（Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求f(2)的取值范围；

（Ⅲ）设g(x)?x?1，且f(x)?g(x)的解集为（-∞，1），求实数a的取值范围。

解: （Ⅰ）∵f（x）=－x+ax+bx+c，∴f??x???3x?2ax?b．

3

2

21分

∵f（x）在在（－∞,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数， ∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f??0??0．∴b=0．

3

2

3分

（Ⅱ）由（1）知，f（x）=－x+ax+c，

∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1－a．

2∵f??x???3x?2ax?0的两个根分别为x1?0，x2?5分

2a． 3∵f（x）在（0,1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点， ∴x2?2a3?1，即a?．

237分

∴f?2???8?4a??1?a??3a?7??故f（2）的取值范围为??5． 29分

?5?,???． ?2?32（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知f?x???x?ax?1?a，且a?3． 2

∵1是函数f?x?的一个零点，∴f?1??0， ∵g(x)?x?1,∴g(1)?0，

3

∴点(1,0)是函数f(x)和函数g(x)的图像的一个交点． 10分

结合函数f(x)和函数g(x)的图像及其增减特征可知，当且仅当函数f(x)和函数g(x)的图像只有一个交点(1,0)时，f(x)?g(x)的解集为(??,1)．

?y?x?1,?x?1即方程组?（１）只有一个解． 11分 ?32?y?0?y??x?ax?1?a3232由?x?ax?1?a?x?1，得x?1?ax?1??x?1??0． 2即?x?1?x?x?1?a?x?1??x?1???x?1??0． 2x即?x?1?????1?a?x??2?a????0．

??????∴x?1或x??1?a?x??2?a??0． 12分

2由方程x??1?a?x??2?a??0， （２）

22得???1?a??4?2?a??a?2a?7．∵a?23， 213分

当??0，即a?2a?7?0，解得

23?a?22?1 2

此时方程（２）无实数解，方程组（１）只有一个解?所以

?x?1．

?y?0

3?a?22?1时，f(x)?g(x)的解集为(??,1)． 14分 2332（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知f?x???x?ax?1?a，且a?．

22x ∵1是函数f?x?的一个零点 ?f(x)??(x?1)????1?a?x?1?a??

又f(x)?g(x)的解集为(??,1)，

2?f(x)?g(x)??(x?1)?x???1?a?x?2?a???0解集为?-?，1?

10分

?x2??1?a?x?2?a?0恒成立 11分

????1?a??4?1??2?a??0 ?a2?2a?7?02??a?1??8

14分

2

33?3?又?a???a?22?1?a的取值范围为?，22?1?

22?2?5、已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1.

（Ⅰ）若xf'(x)?x?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0 .

4

2