第一章 行列式

线 性 代 数 A

补充题

（2007-3-16）

第一章 行列式

例 题

x?1x9?703712x03x111例1. 设 f(x)?1?50，则f(x)的常数项为 , x3的系数为______

例2. 设 ?,?,?为互不相等的实数，证明：??3??3??3?0的充分必要条件是：

??????0.

103100200300301?1204395?____ 60013?1?10521例3. 行列式1993012例4．设D?01?1，则A21?A22?A23?A24?_____________,

A31?A32?2A33?_____________.

x?2x?1x?2x?3例5. 设f(x)?2x?22x?12x?22x?33x?33x?24x?53x?54x4x?35x?74x?3，问f(x)?0有几个根，并求f(x)的表达

式。

例7. 计算下列n阶行列式

1

a011a10?010??100?an（1）1?1a2??0?,其中所有ai?0.

a1?b1a2?a2?anan?an?bn,其中b1b2?bn?0.

(2).

a1?a1a2?b2?

练 习 题

(一)填空题

1．设Dn?|aij|?a, 则|?aij|? . x121?737?x332?11411188xx3x22622.f(x)?2?71为_______次多项式，x2的系数是_________，常数项是

23. 方程

255 =0的全部根为____________.

15?x?34．设?,?,?是方程x?px?q?0的三个根，则行列式：???????________?.

?000001413?7?122202433100443?9a15.行列式 029?___________________

3(a1?a3)3(b1?b3)3(c1?c3)121212a2b2c22

a1a2b2c2a3b3c3c16. √ 行列式b1c1?k, 则行列式b1? .

3?1172215641327.设D?1?20,则A21?A22?A23?A24? .

其中Aij表示元素aij的代数余子式（i,j?1,2,3,4）.

1xa1?a2n?1x22????xn?1n?18. 方程1?1a1a2a1?0（其中ai(i?1,2,3?,n)为互不相等的实常数）

?n?1?an?1n?1则方程的全部解为____________

??x1?x2?x3?0?9.如果方程组?x1??x2?x3?0仅有零解，则常数?? .

?x?x??x?023?1（二）.计算题

1．计算下列行列式

246427543721327443; (2). 6210a10c1a20c20b10d100b20d21?a?1a1?a?1000a1?a?1000a1?a?1000a1?a(1). 1014?342.（3）000

2. 计算行列式

a?bba?b??ba?b1bba??b?????aba?b?00bbb; (2). ?a0ab?00?????x1?1x2x1?xnx100?a?b100?ab2x1x2x2?1?xnx22???x1xnx2xnx2?12(1). ?b??b

(3). Dn??00(a?b)

a?b

3

（三）证明题

131． 已知1854,3798,7236,5778都可被18整除，证明：4阶行列式、75872759374868也可被18整除。

2． 证明：若(x1,y1),(x2,y2),与(x3,y3)为平面上任意三点，则以这三点为顶点的三角形

111x1x2x3y1y2的绝对值。 y3aee?a?b??的面积为行列式

12lnalnb?0 13 设e?a?b，证明：存在??(a,b)使 b1?e?

答 案

(一)填空题

1.(?1)na; 2.二次，36，-45；3. ?2,?3；4. 0; 5. ?104; 6. 8. a1,a2,?,an?1; (9). 1 或 ?2.

32k; 7.?112;

（二）.计算题

1.(1).

2. (1).

12?294?10; (2). (b1c2?a2d1)(a1d2?b2c1); (3). 1?a?a?a?a?a

52345?(a?b)n?(a?b)n?; (2). 1?x21?x???x. （3）.

222nan?1?bn?|a?b

4