1．1.1 任意角
角的分类 [提出问题]
问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？
提示：旋转方向不同．
问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？
提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°. [导入新知] 角的分类 1．按旋转方向
名称 正角 负角 零角 定义 按逆时针方向旋转形成的角 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有作任何旋转形成的角 图形 2.按角的终边位置 (1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角； (2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． [化解疑难] 1．任意角的概念
认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．
(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．
(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转方向； ②要明确旋转角度的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置． 2．象限角的前提条件
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
终边相同的角 [提出问题]
在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.
问题1：这三个角的终边位置相同吗？ 提示：相同．
问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？
提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°. 问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？ 提示：不唯一． [导入新知] 终边相同的角 所有与角α
终边相同的角，连同角α
在内，可构成一个集合S＝
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个
周角的和．
[化解疑难]
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．
(1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角．
(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．
象限角的判断
[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°. [解] 作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角． [类题通法] 象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
[活学活用]
在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°. 解：如图所示，分别作出各角，可以发现：
(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．
(3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，所以2 012°是第三象限角．
(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．
终边相同的角的表示 [例2] (1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解]
(1)与角
α
＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝－1 910°＋k·360°，k∈Z}. ∵－720°≤β＜360°，
∴－720°≤－1 910°＋k·360°＜360°， 1111∴3≤k＜6， 3636故k＝4,5,6.
k＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°. k＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°. k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.
(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋
k·90°，k∈Z}．
(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}，
故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． [类题通法]
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