专题52 中考数学最值问题
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 （1）两点之间线段最短；
（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式
二次函数y?ax?bx?c（a、b、c为常数且a?0）其性质中有
24ac?b2b①若a?0当x??时，y有最小值。ymin?；
4a2a4ac?b2b②若a?0当x??时，y有最大值。ymax?。
4a2a2.一次函数的增减性.一次函数y?kx?b(k?0)的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m?x?n时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得??0，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a?b?k?k，当且仅当a?b?0时，等号成立，即
22a2?b2?k的最小值为k。
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6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x?a中，x?a是最大值，在不等式x?b中，x?b是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
【例题1】（2020?黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为 ．
【答案】√3．
【解析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF， ∴EG＝AB＝1，EG∥AB， ∵四边形ABCD是菱形，
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∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAD＝120°， ∴EG＝CD，EG∥CD， ∴四边形EGCD是平行四边形， ∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值， ∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E， 则CM的长度即为EC+DE的最小值， ∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
1
1
∴∠ADM＝60°，DH＝MH=2AD=2， ∴DM＝1， ∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°， ∴∠M＝∠DCM＝30°，
√3∴CM＝2×2CD=√3．
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【对点练习】（2020?内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
【答案】15．
【解析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．
解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°， ∴∠ABA′＝60°， ∴△ABA′是等边三角形，
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∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，
????
=10√3，
??????30°在Rt△ABD中，AB=∵A′H⊥AB， ∴AH＝HB＝5√3，
∴A′H=√3AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H， ∴AM+MN≤15，
∴AM+MN的最小值为15．
【例题2】（2020?襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
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