∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5， 即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥， 联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4）， 故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．
【例题5】（2020无锡模拟）如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．
【答案】4
【解析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=
22x，CD′=（4﹣x）， 22根据勾股定理然后用配方法即可求解． 解：设AC=x，BC=4﹣x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，
∴CD=
22x，CD′=（4﹣x）， 22∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°， ∴∠DCE=90°，
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∴DE=CD+CE=
222
121x+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4， 22∵根据二次函数的最值，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．
【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值． 【对点练习】（2019年黑龙江大庆）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交
AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
【答案】见解析。
【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式. 动点D运动x秒后，BD＝2x． 又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x． ∵DE∥BC， ∴
，
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∴，
∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．
（2）由S＝?BD?AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm．
2
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
一、填空题
1．（2020?扬州）如图，在?ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=4DE，以EC、EF为邻边构造?EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
1
【答案】9√3．
【解析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决． 作CH⊥AB于点H，
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∵在?ABCD中，∠B＝60°，BC＝8， ∴CH＝4√3，
∵四边形ECGF是平行四边形， ∴EF∥CG， ∴△EOD∽△GOC，
????????
????????
????????
∴==，
∵DF=DE，
????????????????????????
45
14∴=，
4545
∴=，
∴=，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值， 当EO⊥CD时，EO取得最小值， ∴CH＝EO， ∴EO＝4√3， ∴GO＝5√3，
∴EG的最小值是9√3，
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2．（2020?凉山州）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 ．
【答案】10．
【解析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长． 如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝8，BE＝3， ∴AE＝5， ∵AD＝12，
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