湖南省长沙一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）

湖南省长沙一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．（5分）已知集合（） A． C．

2．（5分）命题“?x∈R，使x+ax+1＜0”的否定是（）

22

A． ?x∈R，使x+ax+1＞0 B． ?x∈R，使x+ax+1≥0

22

C． ?x∈R，x+ax+1＞0成立 D． ?x∈R，x+ax+1≥0成立

2

，

，则CR（M∩N）=

B． D．

3．（5分）若实数x，y满足，则z=x+2y的最大值是（）

A．

4．（5分）已知向量

B． 2 C． 1 D．0

，则锐角θ等

于（） A． 30° B． 45° C． 60° D．75° 5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）

A． 14 C． 30 D．55 6．（5分）知0＜a＜b且a+b=1，下列不等式正确的是（） A． log2a＞1 B． log2a+log2b＞﹣2 C． log2（b﹣a）＜0

7．（5分）已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a≤1），an+2=|an+1﹣an|，当a4=1时，a10的值为（） A． 0 B． 1 C． 0或1 D．±1 8．（5分）将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（） A． 80 B． 120 C． 140 D．50 9．（5分）正方形ABCD的 边长是a，依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是（）

D．

B． 20

A．

B． C． D．

10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+2cosx﹣

2

，函数g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3

（m＞0），若?x1∈，总?x2∈，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围为（） A．

B．

C．

D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．） 11．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=2，则z=．

12．（5分）（1﹣ax）（1+x）的展开式中，x项的系数为﹣16，则实数a的值为．

13．（5分）向平面区域Ω=

该点落在曲线y=cos2x下方的概率为．

14．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且满足|AB|=2，

，则△ABC的外接圆的面积为．

，若

内随机投掷一点，则

2

6

3

15．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2﹣2﹣．则：

x

；函数g（x）=ln（x+1）

（1）函数g（x）的零点个数为；

（2）若实数a是函数g（x）的正零点，则f（﹣2）与f（a）的大小关系为．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，这向量

，且

．

（1）求内角A的大小；

（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值． 17．（12分）国家统计局对某门户网站的访问量与广告收益进行统计评估，从该网站近三年中随机抽取100天，访问量的统计结果（单位：万次）如表所示： 访问量 500 600 700 频 数 50 30 20

（Ⅰ）根据上表的统计结果，求访问量分别为500万次，600万次，700万次的频率； （Ⅱ）已知每100万次的访问量能使该网站获得广告收益5万元，用ξ表示该网站两天的广告收益（单位： 万元），假设每天的访问量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

18．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，Sn﹣Sn﹣1=an（n≥2）． （Ⅰ）求证数列{an}为等差数列，并求出其通项公式；

（Ⅱ）对于数列{an}，在每两个ak与ak+1之间都插入k（k∈N+）个2，使数列{an}变成一个新数列{tm}，数列{tm}的前m项和为Tm，若Tm＞2014，求m的最小值． 19．（13分）今年暑假期间有一个自驾游车队，组织车友前往青海游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的速度不能超过20m/s），匀速通过该隧道，设车队速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离，当12＜x≤20时，相邻两车之间保持

m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时

2

2

3

间为 y（s）．

（Ⅰ）将y表示成x的函数；

（Ⅱ）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．

20．（13分）如图，已知抛物线C1：y=2px（p＞0），圆C2与y轴相切，其圆心是抛物线的焦点，点M是抛物线的准线与x轴的交点，点N是圆C2上的任意一点，且线段MN长度的最大值为3，直线l过抛物线C1的焦点，与C1交于A、D两点，与C2交于B、C两点． （Ⅰ）求C1与C2的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得kOA+kOB+kOC+kOD=3（其中O为坐标原点），且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列？若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，请说明理由．

2

21．（13分）已知函数f（x）=e（t∈R，e是自然对数的底）． （Ⅰ）若对于任意x∈（0，1），曲线y=f（x）恒在直线y=x上方，求实数t的最大值； （Ⅱ）是否存在实数a，b，c∈，使得f（a）+f（b）＜f（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

﹣x