∵∠PAD=∠BAF,∠APD=∠ABF=90°, ∴△APD∽△ABF, APPD∴AB=BF,
3343∴4=BF,∴BF=3.
8.如图,已知BC是⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,E为AC的中点,连结DE.
(1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长; 解:如图,连结CD,∵BC是⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,即CD⊥AB.∵AD=DB, ∴AC=BC=2OC=10. (2)求证:ED是⊙O的切线.
1证明:连结OD,∵∠ADC=90°,E为AC的中点,∴DE=EC=2AC, ∴∠1=∠2.∵OD=OC, ∴∠3=∠4.
∵AC切⊙O于点C,∴AC⊥OC,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,即DE⊥OD, ∴DE是⊙O的切线.
9. 如图,射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1 cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,3 cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值 (单位:秒).
【思路点拨】分三种情况讨论:当⊙P与AB边相切时;当⊙P与AC边相切时;当⊙P与BC边相切时,即当圆心P分别到AB,AC,BC的距离为3时对应的t值即为所求.
【解析】∵⊙P的半径为3,∴圆心P从Q点开始运动时,圆会与△ABC的边3次相切,而AM=MB,AC∥QN,∴MN为正三角形ABC的中位线,MN=2.
(1)当圆与正三角形AB边相切时,如图1,则PD=3,易得DM=1,PM=2,则QP=2,则t=2;
图1
(2)当圆与正三角形AC边相切时,如图2,事实上圆的半径刚好等于AC与射线QN之间的距离3,∴AP1=3,则P1M=1,QP1=3.同理NP2=1,QP2=7,而在此之间圆始终与AC边相切,∴3≤t≤7;
图2
(3)当圆与正三角形BC边相切时,如图3,则PD=3,易得DN=1,PN=2,则QP=8,则t=8.
图3
综上所述,t=2或3≤t≤7或t=8. 【答案】t=2或3≤t≤7或t=8
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