专题二 数学思想方法
(对应学生用书第63~66页)
概述 数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方法”是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体.在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法.
1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决.
2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;
(2)“以数辅形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
3.转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面: (1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题; (2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题; (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
4.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终集合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.
一、函数与方程思想
函数与方程思想在不等式中的应用
【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于?x∈R,均有f(x)>f'(x),则有( ) (A)e2 018f(-2 018) 解析:构造函数g(x)= , 则g'(x)== , 因为对于?x∈R,均有f(x)>f'(x),并且ex>0, 所以g'(x)<0, 故函数g(x)= 在R上单调递减, 所以g(-2 018)>g(0),g(2 018) 即>f(0), 也就是e2 018f(-2 018)>f(0), f(2 018) 【思维建模】 函数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解. 热点训练1:(1)已知函数f(x)=ln x-asin x在区间, 上是单调增函数,则实数a的取值范围为( ) (A)-∞, (B)-∞, (C), (D),+∞ (2)(2017·山西三区八校二模)定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f'(x) 解析:(1)f'(x)=-acos x, 由题意得-acos x≥0在, 上恒成立, 即a≤在, 上恒成立, 设g(x)=,则g'(x)= , 因为x∈, , 所以xsin x-cos x≤xcos x-cos x=(x-1)cos x<0, 所以g'(x)<0, 所以g(x)在, 上单调递减, 所以g(x)小=g =, 所以a≤g(x)小=.故选B. (2)因为f(x)·f(x+3)=-1, 所以f(x+3)=-,f(x+6)=- =f(x), 即f(x)的周期为6, 所以f(2 015)=f(-1)=-e, 因为f(x)是奇函数,所以f(1)=e. 构造函数g(x)=,则g'(x)= <0, 即g(x)在R上单调递减, g(1)=所以x>1. =1,f(x) 答案:(1)B (2)(1,+∞) 函数与方程思想在数列中的应用 【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列. 解:(1)设{an}的公比为q.由题设可得 解得q=-2,a1=-2. 故{an}的通项公式为an=(-2)n.
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