近世代数课后习题参考答案（张禾瑞）-5

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近世代数课后习题参考答案

第五章 扩域

1扩域、素域

1. 证明:F(S)的一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集是一个域.

证一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集为1)若a,b??

?则一定有a?F(?1,,?2,??n)

b?F(?1,,?2,??m)易知a?b?F(?1,?2,??n,?1,?2,?,?m但

F(?1,?2,??n,?1,?2,?,?m)?? 从而b?a??

2)若a,b??,且b?0则 ?b?F(?1,?2,?,?m)

?1从而有ab?F(?1,?2,??n,?1,?2,?,?m)?

?

２单扩域

１． 令E是域F的一个扩域，而a?F证明a是F上的一个代数元，并且

F(a)?F

证 因a?a?0故a是F上的代数元．其次，因a?F，故

F(a)?F易见F(a)?F，从而F(a)?F

２．令F是有理数域．复数i和

2i?1)是否同构？ i?12i?12 证 易知复数i在F上的极小多项式为x?1,

i?152在F上的极小多项式为x?x?

22i?1) 故这两个域是同构的． 因F(i)?F(i?1F(i)与F(2i?1在F上的极小多项式各是什么？ i?1３．详细证明，定理３中a在域F上的极小多项式是p(x)

证 令?是F(x)中的所有适合条件f(a)?0的多项式作成f(x)的集

合．

1)?是F(x)的一个理想

(ⅰ)若 f(x),g(x)??则f(a)?0,g(a)?0

因而f(a)?g(a)?0 故f(x)?g(x)?? ⅱ)若f(x)??,h(x)是F(x)的任一元

那么h(a)f(a)?0 则h(x)f(x)??

2)是一个主理想

设 p1(x)是?中a！的极小多项式

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那么，对?中任一f(x)有

f(x)?p1(x)q(x)?r(x)

这里r(x)?0或r(x)的次数 但f(a)?p1(a)q(a)?R(x)

因 f(a)?0,p1(a)?0 所以r(a)?0

若 r(x)?0 则与p1x是a的极小多项式矛盾． 故有 f(x)?p1(x)q(x) 因而??(p1(x) （３）因 p(a)=0 故p(x)??

P1(x) 1(x)p(x) 因二者均不可约，所以有p(x)?ap又p(x),p1(x)的最高系数皆为1那么a?1 这样就是p(x)?P1(x)

４． 证明：定理３中的F(a)?K

证 设f?K,，则在定理３的证明中，K?K之下有．

'f?anx?an?1x??n??n?1???a

?但 a?x,a1?a1 故必f?an?n?an?1?n?1??a0 这就是说k?F(?) 因而F(a)?K

３代数扩域

１．令E是域F的一个代数扩域，而?是E上的一个代数元， 证明?是E上的一个代数元 证 因为?是F上的代数元

所以e0?e1????en?n

又因为E是F的代数扩域，从而F(e0,e1,?en) 是F的代数

扩域，再

有?是F(e0,e1,?en)上的代数元，故F(e0,e1,?en)((?)

F(e0,e1,?,en?1,en)的有限扩域，由本节定理１，知 F(e0,e1,?,en?1,en,?)

是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元．

２．令F,E和L是三个域，并且F???E，假定

(I:F)?m

而E的元?在F上的次数是n，并且(m,n)?1

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证明?在I上的次数也是１ 证 设(I(?):I?r

因为 I(?)?I?F 由本节定理1(I(a):F)?rm 另一方面，因为(F(?):F)(I(?):F 仍由本节定理！！ 即有nrm

但由题设知 (m,n)?1 故 nr

又?在I上的次数是r，因而其在I上的极小多项式的次数是１

?在I上的次数是n，因而其在F上的极小多项式的次数是n

由于?在上的极小多项式能整除?在F上的极小多项式

所以r?n 因而r?n

３．令域！的特征不是２，E是F的扩域，并且

(E:F)?4 证明存在一个满足条件F?I?E的E的二次扩域F的充分与必要条是：

(E:F)?4，而?在F上的极小多项式是x4?ax2?b

证 充分性：

由于?在F上的极小多项式为x?ax?b

22 故a?F及a?F(?)

242 因而(F(a):F)?1 由本节定理１知：

所以 (F(a2):F)?2 这就是说，F(a)是一个满足条件的的二次扩域必要性：

由于存在I满足条件F?I?E且为F的二次扩域

即(1:F)?2因此可得（(E:1)?2 我们容易证明，当F的特征不是２时，且 则 而！在！上的极小多项式是！

2同样 E?I(a)而?在x?f上的极小多项式是

2这样

?2?f,f?F,

22?2?i,i?I

那么i2?f1?2f1f2??f2所以??i

42?

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?f1?2f1f2??f22?2 ?2f12?2f1f2??f22?2

令a??2f1b?f12?f22f

同时可知a,b均属于F???a??b?0 由此容易得到E?F(a0

４．令E是域F的一个有限扩域，那么总存在E的有限个元

422?1,?2,??m使E?F(?1,?2,??m)

证 因为E是F的一个有限扩域，那么把E看成F上是向量空间时，则有一个基?1,?2,??n显然这时

E?F(?1,?2,??m)

F所得扩域＂ ５．令F是有理数域，看添加复数于11E1?F(2,2i1)1313E2?F(23,23wi)

证明(F(23)?2,(E1:F)?6

证 易知！在！上的极小多项式是！ 即（F(2):F?3

1323同样2上的极小多项式是x?2x?2?2 即(E2;F(2))?4

由此可得（(E1:F)?6,(F2:F)?12

13423223４多项式的分裂域

１．证明：有理数域F上多项式x?1 的分裂域是一个单扩域F(a) 其中a是x?1的一个根

证 x?1的４个根为

444a0?2i22i22i22i2 ?,a1??,a2???,a3???22222222又a1?a?1;a2??a?1,a3??a

所以F(a,a1,a2,a3)?F(a)

２．令F是有理数域，

3x3?a是F上一个不可约多项式，而a是x3?a

2的一个根，证明F(a)不是x?a在F上的分裂域．

2 证 由于a是x?a的一个根，则另外两个根是a?,a?，这里?，?是

3x2?x?1的根若F(a)是x3?a的在H上的分裂域那么

a?,a?2?F(a)这样，就是F?F(?)?F(a)由3。3定理！有但