§4 串
§4.1 串的匹配
子串的定位操作称为串的模式匹配，是各种串处理中最重要的操作。在主字符串S中查找模式字符串P，若在主串中找到等于模式串的子串，称为匹配成功，返回与模式串第一个相等的字符在主串中的序号；若匹配不成功，则返回0。 §4.1.1 串的简单匹配
串的简单匹配，基本思想是：从主串的第一个字符起和模式串的第一个字符比较，若相等，则继续逐个比较后续的字符，否则从主串的第二个字符起再重新和模式串的字符比较。依此类推，直至模式串的每个字符依次和主串中的一个连续的字符序列相等，则为匹配成功…… 【例4-1-1】： 主串：a b a b c a b c a c b a b
匹配串：a b c a c ↓i =3
第一趟匹配： a b a b c a b c a c b a b
a b c
↑j =3 ↓i=2
第二趟匹配： a b a b c a b c a c b a b a ↑j=1
↓i=7
第三趟匹配： a b a b c a b c a c b a b a b c a c ↑j=5 ↓i=4
第四趟匹配： a b a b c a b c a c b a b a ↑j=1 ↓i=5
第五趟匹配： a b a b c a b c a c b a b a ↑j=1
↓i=11
第六趟匹配： a b a b c a b c a c b a b a b c a c ↑j=6
这种算法易于理解，在某些场合效率也较高。但当主串为‘0000000000000000000000000 00000000000000000000000001’，模式串为‘00000001’时，由于模式串中前7各字符均为‘0’，主串中前50各字符均为‘0’，每趟比较都在模式串的最后一个字符出现不等，此时需将指针i回溯到i-6的位置上，并从模式的第一个字符开始重新比较。直到匹配成功，指针i需回溯43次。这经常出现在主串中存在多个子串和模式串“部分匹配”的情况下，例如01串（字符串由0、1组成）。
§4.1.2 串的KMP匹配算法
这种改进的算法是由D.E.Knuth、V.R.Pratt和J.H.Morris三人同时发现的，所以称为KMP算法。
（一）KMP算法的基本思路
KMP算法每当一趟匹配过程中发现字符不等时，不需回溯i指针，而是利用已经得到的“部分匹配”的结果将模式串向右“滑动”尽可能远的一段距离后，继续进行比较。 先回顾简单匹配的算法，从例4-1-1可以看出，在第三趟匹配中，当i=7、j=5字符比较不等时，又从i=4、j=1重新比较。而在i=4和j=1，i=5和j=1，以及i=6和j=1这三次比较都是不必要的。
因为从第三趟部分匹配的结果可以看出，主串中第4、5、6个字符必然是’b’、’c’、’a’（即模式串中第2、3、4个字符）。因为模式串中第一个字符是a，因为它无需和这三个字符进行比较，所以仅需将模式串向右滑动三个字符的位置进行比较。同理，在第一趟匹配中出现字符不等时，仅需将模式串向右移动2个字符的位置继续进行i=3、j=1时的字符比较。由此，整个过程指针i没有回溯，如下所示。
↓i=3
第一趟匹配：a b a b c a b c a c b a b
a b c
↑j=3
↓i=7
第二趟匹配：a b a b c a b c a c b a b
a b c a c
↑j=5
↓i=11
第三趟匹配：a b a b c a b c a c b a b
a b c a c
↑j=6
KMP算法的基本思想是:
在匹配过程中，当 Si≠Pj 时，应在模式串P的开头和主串S紧靠i之前找到相等的最大子串，子串长度为k –1，如图所示：
i S
P
k k-1 j
然后将模式串向右滑动，比较Si和Pk是否相等。 对于KMP算法，需要解决的问题首先是：当匹配过程产生“失配”，模式串“向右滑动”可行多远？换句话说，当主串中第i个字符与模式串中第j个字符“失配”（即不相等）时，主串中第i个字符应与模式串中哪个字符再比较？
（二）求证k仅与模式串相关
设主串为S，模式串为P。假设当主串中第i个字符与模式串中第j个字符“失配”时，主串的第i个字符应与模式串的第k个字符继续比较，则模式串中前j个字符必须满足下列关系：
‘P1P2……Pk-1’＝‘Si - k+1Si - k+2……Si-1’ （1）
{匹配串P的前k-1个字符与主串中第i个字符前的k-1个字符相等} 而已经得到“部分匹配”的结果是：
‘Pj-k+1Pj-k+2……Pj-1’＝‘Si-k+1Si-k+2……Si-1’ （2）
{匹配串P第j个字符前的k-1个字符与主串中第i个字符前的k-1个字符相等} 由（1）和（2），可以推出下式：
‘P1P2……Pk-1’＝‘Pj-k+1Pj-k+2……Pj-1’
即模式串中前k-1个字符与第j-k+1到j-1个字符相等，即k仅与模式串有关，与主．串无关。 ．．．
（三）next数组
因此，我们可以设next数组，令next[j]=k，则next[j]表明当模式中第j个字符与主串相应字符“失配”时，主串中该字符重新与模式串中进行比较的字符的位置。
Next数组的定义：
0 当 j=1时
next[j]= Max { k | 1 1 其它情况 【例4.1.2_1】 j 模式串 next [ j ] Next数组怎样具体求得，我们这里先放一下，先看看在设了next数组后KMP匹配的算法，这可能将更有利于理解。 （四）KMP算法 匹配可如下进行： ① 指针i和j分别指示主串和模式串中正待比较的字符，令i和j的初值皆为1。 ② 若在匹配过程中si = pi ，则i和j分别增1，否则j再退到下一个next值的位置， 依此类推，直至下列可能： 1 2 3 4 5 6 7 8 a b a a b c a c 0 1 1 2 2 3 1 2 一种是j退到某个next（next [next [… next[ j ] ] ]）值时字符比较相等， 则指针各自增1继续进行匹配（模式串滑动）； 另一种是j退到next值为0（即模式的第一个字符“失配”），则此时需将模式串继续向右滑动一个位置，从主串的下一个字符si+1起和模式串重新开始匹配。 算法如下： function KMP:integer； …… {假设已求出next数组} begin i:=1； j:=1； {指针初始化} while (i<=s.length) and (j<=p.length) do {s.length、p.length分别为主串和模式串的长度} if （j = 0） or （s[i]=p[i]） then begin i:=i+1； j:=j+1； {继续下一对字符的比较} end else j:=next[j]； {模式串向右滑动} if j>p.length then KMP:=i-p.length {匹配成功} else KMP:=0； end； （五）求next数组的算法 从上述讨论已知，next数组的值仅与模式串本身有关，而与相匹配的主 串无关，我们可以根据模式串，从分析其定义出发，用递推的方法求得next数组的值。 由定义知： next [1] = 0 设已求得 next [ j ] = k ，求next [ j+1 ] = ? 有两种情况： 1．若Pk = Pj ，则表明在模式串中： ‘P1……Pk’＝‘Pj - k+1……Pj’ 就是说 next [ j+1 ] = k+1 ， 即：next [ j+1 ] = next [ j ] +1 2．若Pk≠Pj，则表明在模式串中： ‘P1……Pk’≠‘Pj – k+1……Pj’ 此时如何处理？ procedure next; var i , j , k ：integer; begin next [1] := 0； k := 0； for j := 1 to p_length -1 do { p_length为模式串P的长度} begin if （k = 0） or （P[j] = P[k]） then begin end else begin end； end； end； 参考答案：① k := k+1； next [j+1] := k； ② repeat k := next [k]； until（k=0）or（P[j]=P[k]）； k := k+1； next [j+1] := k； 求next数组程序2： procedure next； var j , k ：integer； begin j := 1； k := 0； next[1] := 0； while j < p_length do if（k=0）or（P[j]=P[k]） then begin j := j+1； k := k+1； next[j] := k； end else k := next[k]； end； 另一种求next数组的算法： procedure next； readln (p)；
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