《自动控制理论》(夏德钤 翁贻方版)第四版课后习题详细解答答案

（3）劳斯表有 2s s1

s013161910?66 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，10101210 系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

s6s5s4

（4）劳斯表有 s 3 1323434 5964 8464

系统处于稳定的临界状态，由辅助方程 812 s2s1s0

A?s??2s4?6s2?4可求得系统的两对共轭虚数极点s1,2??j;s3,4??j。

3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。 （1）K>0时,系统稳定。 （2）K>0时，系统不稳定。 （3）0

系统的特征方程为 D(s)?2?s3?(??2)s2?(K?1)s?K?0 K(s?1) 请在以K为横坐 s(?s?1)(2s?1) 列写劳斯表 s3s2s

1 s0

(??2)(K?1)?2?K ?0 ??2 2???2

(??2)(k?1)?2?k ??2k k?1k

，得出系统稳定应满足的条件 由此得到和应满足的不等式和条件 0??? 2 6 3 4 4 3.3 2(K ?1) ,K?1,??2 K?1 5 3 9 2.5 15 2.28 30 2.13

100 2.04

根据列表数据可绘制K为横坐标、?为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。 图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域

3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?K(s?5)(s?40) 试求系统的3s(s?200)(s?1000)

临界增益Kc之值及无阻尼振荡频率值。 根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程 s5?1200s4?200000s3?ks2?45ks?200k?0 列写劳斯表 s5 s4 s3

s2112002.4?108?k12001.7544?108k?k2 2.4?108?k7.787?109k2?45k3?0.96?1016k 1.7544?108k?k2

200k200000k5.4?10k?200k1200445k200k0 200ks1s0 根据劳斯判据可得

?2.4?108?k?0?1200??1.7544?108k?k2

?0? ?2.4?108?k?7.787?109k2?45k3?0.96?1016k??0821.7544?10k?k???200k?0 系统稳定的K值范围为 1.22?106?K?1.7535?108

当K1?1.22?10、K2?1.7535?10时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益Kc?1.22?106以及Kc?1.7535?108。 根据劳斯表列写Kc?1.22?106时的辅助方程 68

1.7544?108?1.22?106?(1.22?106)2 2s?200?1.22?106?0 862.4?10?1.22?10

解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2??j16，系统的无阻尼振荡频率即为16rad/s。 Kc?1.7535?10时的辅助方程 8 1.7544?108?1.7535?108?(1.7535?108)2 2s?200?1.7535?108?0 882.4?10?1.7535?10

解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4??j338，系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。