三角形的三边关系引发的思考

观操作中的数学理性──由“三角形的三边关系”引发的思考

作者:海安县实验小学 崔红梅 录入时间:2012-7-18 阅读次数:315

摘 要：直观操作是学生学习数学的重要方式。但数学学习不能仅仅停留于直观，

还要将直观上升到数学的层面，进行理性的思考。学生在探究“三角形三边关系”中的操作困境即能给我们很多启示。

关键词：直观操作 理性 三边关系

伴随着动手实践、合作探究等新课程理念的引导，通过操作活动帮助学生获得直观感受，增强数学理解，积累活动经验，已经成为大家的共识。在“三角形的三边关系”教学时，教师们就特别注意对学生进行操作指导。以下是两位教师的教学片段──

伴随着动手实践、合作探究等新课程理念的引导，通过操作活动帮助学生获得直观感受，增强数学理解，积累活动经验，已经成为大家的共识。在“三角形的三边关系”教学时，教师们就特别注意对学生进行操作指导。以下是两位教师的教学片段──

[片段一]用小棒操作

师：如果给你三根小棒，你能围成三角形吗？能，还是不能？我们可以通过实验来研究。出示实验记录表。 实验1 2 3 4

学生使用信封中提供的小棒，按要求分小组实验，填写实验记录表，最后交流。 生：红色、黄色、蓝色的小棒，不能围成三角形。 生：能围成三角形。

师：能还是不能？请你来围给大家看一下。

学生利用实物展示台操作，小棒之间的连接有一点点空隙，没有拼成功。另一学生又上来，小棒之间的连接毫无空隙，拼“成功”了。

每次选三根小棒（画“√”表示） 次数 10厘米（红色） 6厘米（黄色） 5厘米（绿色） 4厘米（蓝色） 能否围成 师：到底行不行，我们来看电脑演示一下。（屏幕动态呈现这三根小棒围的过程：6厘米和4厘米拼起来和10厘米一样长，是“并排”的，不能围成一个三角形。）

师：还有哪几根小棒也不能围成三角形呢？

生：选用长度分别是10厘米、5厘米、4厘米的三根小棒，也不能围成三角形。 争议又起。教师还是请学生上台操作，然后电脑验证。

师：通过刚才的操作，你们发现三根小棒能否围成三角形，与小棒的什么有关？ ??

上述教学遵循教材编排意图，以小棒为操作材料，让学生自主探究“从四根小棒中选择三根围三角形”，并根据实验结果思考三角形中三边的关系。探究过程是比较充分的，但还是遇到了一点小“麻烦”──小棒的粗细和拼接中的误差影响着学生对结果的判断。

[片段二]用纸条操作

师：请同学们拿出给信封，取出里面的纸条。（学生从信封中取出两根纸条，一红一蓝）如果把两根纸条看成两条线段，可以围成三角形吗？

生：不能，还少一条。

师：怎么办呢？每桌都有一把剪刀，同学们可以把其中的一根剪开，就能出现三根线段了。注意要竖着剪，不能斜着剪（示范剪的动作）。同桌合作，看哪一大组的同学围成的三角形最标准，时间30秒。

学生进行操作活动，结束后集体交流。 师：完成的举手。

一、四组同学未完成的只一两桌，二、三组同学完成的只有两三桌。 师：为什么组与组之间的差距这么大呢？你们有没有问题要提？ 生1：是不是和给我们的纸条有关系？

生2：我们二、三组两根纸条一样长，不能围成三角形。 ??

师：同学们提出了一些很好的问题，我们是不是还可以想到这些问题？看大屏幕： 发现问题——

●大组之间的差距怎么这么大呢？

●难道有了三条边，还不一定能拼成三角形？ ●拼成的，为什么拼成了？ ●没有拼成的，为什么没能拼成呢？ ●能不能围成三角形与什么有关？ ●三角形三条边之间有什么关系呢？ 师：我们先解决哪些问题呢？ （讨论过程略。）

师：现在我们知道三角形两条边的和大于第三边。（板书）刚才同学们说两根一样长的纸条不能围成三角形。有没有围成了的？把你围的拿到前面来给大家看。

学生展示（如图）。

师：真围成了。现在同学们想说什么？

生1：长方形纸条太宽了，黏结的地方没有接好。 生2：三角形两条边的和等于第三边也能围成三角形。 师：（笑了）同意这个观点的人举手。 （学生陆续都举手了）

师：其实刚才有个同学说了一个词“就差了一点点”，这是个很重要的发现。我们来看只差一点点行不行呢？（课件演示成右图）教师提问：现在围成三角形了吗？

生：还差一点。 （图形再变化成图。）

师：围成了？

学生不敢肯定地回答了。 师：是不是还差了一点点？ 生：（附和）是的。

（最后课件演示两纸条成两平行线状。接着，课件又把纸条换成线段演示了刚才的过程。）

师：当两根纸条一样长的时候，剪开其中的一根，围成三角形中间拱的起来吗？ 生：不能。

师：你有什么要说的呢？

生：两条边的和等于第三边，不能围成三角形。

师：现在大家确定了吗？其实啊，学习数学，有的时候我们不能相信自己的双眼，而是要用我们的第三只眼看问题??

上述教学，设计精妙，层层推进，把学生的思维逐步推向高潮。操作材料以纸条取代小棒是教学亮点之一：纸条可以随意地剪开，比起给定长度的小棒，操作自由度更大，也更能打开学生的思维空间。但遗憾的是，一节40分钟的课上了近一个小时。究其原因，问

题恰恰又出在纸条上：用有宽度的纸条围三角形，首尾相连的并非“点”而是“边”──虽然是很短很窄很薄的边。尽管教师课始就强调把纸条看成线段，“线段是没有粗细只有长短的”，课中课末又再次提到此，但对于小学生而言，拿着有宽度的纸条来想象着“没有粗细”的线段，太抽象了。操作过程中，学生在摆放纸条时，不断地纠结于“如何围成三角形”的问题，纠结于“看上去明明围成了”为什么“还差一点点”的问题，而不是“为什么能或者不能围成三角形”的问题。学生很难透过纸条这一现象看到线段的本质及其关系。正是教学用具纸条的特征和本课研究的数学关系的吻合度偏差较大，导致学生花费了大量的学习时间却不得要领。更重要的是，学生亲眼所见了“伪事实” 后，教师让学生用“第三只眼”去看。原来搞得清楚的一大部分学生反而有些迷糊了，“伪事实”明明“连在一起”却偏偏被冠之以还“差了一点点”！最终只能在教师的引导之下，才又到回到 “两条边的和等于第三边，确实不能围成三角形”（这其实是一开始大部分学生在头脑中通过直觉或思考已经比较确定的认知），多拐了一个大弯。原本很完美的课，就像一位貌若貂蝉的女子是个跛脚一般，令人遗憾。

因此，有教师说，用纸条作为学具也不是一个很好的选择。那用什么好呢？书上一道习题，给了我灵感，何不就用吸管？用细线把三段吸管穿起来，上面出现的情况无非就是这三种：

如果是可以拼成的，三根吸管的内侧端点就会完美地“顶起来”，成了三角形。如果学生剪的是两根吸管中短的那根就出现第二种情况，端点根本就无法“顶起来”，中间明显有缺口，断然不能围成三角形。最后一种情况，吸管恰好摆成了一个等号，用纸条和小棒难以突破的问题在此迎刃而解。这样操作，比学生琢磨有视觉误差的纸条和课件所演示的似是而非的“伪事实”给学生的直观感受要清晰得多，有利于学生的思维从形象向抽象转化，从直观操作走向理性思考。

在看似一步步“逼近”教学佳境之时，一个问题突然在我的头脑中闪现：小棒也好，纸条也好，吸管也好，充其量不都是学生学习过程中的操作素材吗。直观操作的本质意义是什么？仅仅是操作过程中的误差有大小的差别吗？还是它们仅为学生学习数学、认识数学的一个“拐杖”和“工具”而已？在直观操作和形象感知的背后是不是应该有一种更高水平的“理性”存在？

这种理性，就是数学理性，也就是说，数学学习中所有直观操作材料，其实都是一种“数学意向”的表达。在“三角形的三边关系”教学中，无论使用何种素材，其核心都要将其看成是“线段”的替身。任何操作活动，在本质上都是为了让学生能在直观的基础上更好地进行数学概括和抽象提升。只有在认识上将小棒、纸条、吸管都理解成没有粗细、没有厚薄的线段，学生的学习才能真正地进入到数学的“腹地”，也才能从根本上引导学