第1章 解三角形章末分层突破
[自我校对]
①2Rsin A ②2Rsin B ③2Rsin C ④sin A∶sin B∶sin C ⑤两角与任一边 ⑥两边与其中一边的对角
b2＋c2－a2a2＋c2－b2⑦ ⑧ 2bc2aca2＋b2－c2
⑨ ⑩三边
2ab?两边与它们的夹角 ?高度 ?距离 ?角度 ?三角形面积
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解三角形的类型及一般方法： 利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π，求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意可能有多种解的情况．
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cos C＝ccos B，
△ABC的面积S＝103，c＝7.
(1)求角C； (2)求a，b的值．
【精彩点拨】 由正弦定理及三角恒等变换求(1)；结合余弦定理求(2)． 【规范解答】 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B， ∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B， 2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C， 即2sin Acos C＝sin(B＋C)， ∴2sin Acos C＝sin A.
1∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos C＝，
2π∴C＝. 3
1π
(2)由S＝absin C＝103，C＝，
23得ab＝40.①
由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C， π??22
即c＝(a＋b)－2ab?1＋cos ?，
3??
2
2
2
?1?22
∴7＝(a＋b)－2×40×?1＋?，
?2?
∴a＋b＝13.②
由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8. [再练一题]
1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcosA＝2a. (1)求；
(2)若c＝b＋3a，求B.
【解】 (1)由正弦定理，得asin B＝bsin A， 又asin Asin B＋bcosA＝2a，
∴bsinA＋bcosA＝2a，即b＝2a，因此＝2. (2)由c＝b＋3a及余弦定理，得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
babaa2＋c2－b21＋3acos B＝＝，(*)
2ac2c又由(1)知，b＝2a，∴b＝2a， 因此c＝(2＋3)a，c＝2＋3a＝
2
， 2
2
2
2
2
3＋12
a.
代入(*)式，得cos B＝π
又0＜B＜π，所以B＝. 4
判断三角形的形状 判断三角形的形状，主要有两种方法： 方法一：将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边之间的相应关系，从而判断三角形的形状．
方法二：将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用“A＋B＋C＝π”这个结论．
在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解．
sin B＋sin C 已知△ABC中，sin A＝，试判断△ABC的形状．
cos B＋cos C【精彩点拨】 若化A＝180°－(B＋C)，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用三角恒等变形进行求解．
a2＋c2－b2a2＋b2－c2b＋c【规范解答】 由正弦定理和余弦定理，得＋＝，
2ac2abaa2＋c2－b2a2＋b2－c2
∴b＋c＝＋，
2c2b2c－a－c＋ba＋b－c－2b∴＝，
2c2b22222222
c2＋b2－a2a2－b2－c2
∴＝，
cb1?222?1
∴(b＋c－a)?＋?＝0.
?cb?
11222
∵＋≠0，∴b＋c－a＝0，
cb2
∴b＋c＝a，∴△ABC为直角三角形． [再练一题]
2．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
22
b2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2
【解】 由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代2bc2ca2ab入已知条件得
b2＋c2－a2c2＋a2－b2c2－a2－b2
a·＋b·＋c·＝0，
2bc2ca2ab通分得a(b＋c－a)＋b(c＋a－b)＋c(c－a－b)＝0， 展开整理得(a－b)＝c. ∴a－b＝±c，
即a＝b＋c或b＝a＋c.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形.
2
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4
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正、余弦定理在实际中的应用 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．
如图1-1所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB为20 m，求山高CD.(精确到0.1 m)
图1-1
【精彩点拨】 CD可放到△BCD中，要求CD，已知∠DBC＝60°，∠CDB＝90°，所以只需求BD或CB，在△ABC中，AB的长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB，则
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