2014—2015学年高二数学选修2-2综合试题
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．?(ex?2x)dx?
019．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性
A
C．e
D．e?1
B C D
A．1 B．e?1
1?2i2．复数的虚部为
3?4i1i A．? B．?
553．下面是一段“三段论”推理过程：
10．在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按 胡克定律F?kl计算.今有一弹簧原长80cm，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限
C．
2i 5 D．
2 5度内），外力克服弹簧的弹力做了（ ）功（单位：J） A．0.196 B．0.294 C．0.686 11．已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表，
D．0.98
若函数f(x)在(a,b)内可导且单调递增，则在(a,b)内，f?(x)?0恒成立.因为f(x)?x3在(?1,1)内可导且单调递增，所以在
(?1,1)内，f?(x)?3x2?0恒成立.以上推理中 A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误
4．函数f(x)＝x3－3x－1，x∈[－3,2]. 则f(x)的最大值与最小值的差为
A．20
B．18
2
f(x)的导函数y=f?(x)的图象如右图所示。当1?a?2时，函数y?f(x)?a的零点的个数为 A．1
B．2
C．3
D．4
n+1
C．4 D．0
12．己知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f?(x)，满足f?(x)?f(x)，且f(x?2)为偶函数，f(4)?1，则不等式f(x)?ex的解集为 A．(?2,??) B．(0,??)
C．(1,??)
D．(4,??)
5．用数学归纳法证明“1＋a＋a＋…＋a
1?an?2＝ (a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，左端计
1?a算所得的结果是 A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为
A．a,b,c中至少有两个偶数 C．a,b,c都是奇数
B．a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 D．a,b,c都是偶数
*二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝ . 14．已知a?R，复数z?(a?2i)(1?i)（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在第四象限，则a的取值范围为 ．
15．“证明:通项公式为an?cqn(cq?0)的数列?an?是等比数列.”所依据的大前提是 .
7．已知f (x)＝sinx＋cosx，且f1(x)?f'(x),fn?1(x)?fn'(x)(n?N)，则f2015(x)=
A．－sin x－cos x B．cos x－sinx C． sin x－cos x D．sin x＋cos x 8．已知复数z?a(1?i)?2（a?R,i为虚数单位）为实数，则iOA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情形16．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB|·
OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0，将它类比到空间是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·情形可以是： ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
x53?lnx?. 已知函数f(x)??44x2（1）求曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程；
?
a0(4?x2?x)dx的值为 A．2??
B．2??2 C．4?2? D．4?4?
（2）求函数f(x)的极值.
18．(本小题满分12分)
推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功。请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题。
已知a,b,c∈R, a＋b＋c＞0,ab＋bc＋ca＞0,abc＞0.求证: a,b,c,全为正数.
19．(本小题满分12分)
已知复数w满足w?4?(3?2w)i(i为虚数单位），z?5?|w?2|. w20．(本小题满分12分)
已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/
2
件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)成正比，比例系数为4． ．．．．．．
（1）写出今年商户甲的收益f(x)(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式； （2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．
21．(本小题满分12分) 观察下列等式:
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
……
照以上式子规律： ．．．．．．．
（1）写出第5个等式，并猜想第n个等式； (n∈N*)
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立. (n∈N*)
22．(本小题满分12分)
ex已知函数f(x)?（ e是自然对数的底数）.
x?1（1）求z；
（2）若(1)中的z是关于x的方程x2?px?q?0的一个根，求实数p,q的值及方程的另一个根。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当x1?x2，f(x1)?f(x2)时，证明：x1?x2?0.
证明：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0， 则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0.
2014—2015学年高二数学选修2-2参考答案
一、选择题:
CDAA CBCA 二、填空题：
13 2
BADB
15 等比数列的定义
………………3分
又∵ab＋bc＋ca＞0，∴a(b＋c)＋bc＞0，且bc＜0， ∴a(b＋c)＞0.①
……………… 7分
又∵a＜0，∴b＋c＜0.∴a＋b＋c＜0
……………… 10分
这与a＋b＋c＞0相矛盾．
故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．
……………… 12分
14 (2,??)
16 若O为四面体ABCD内一点，则有VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分10分) （17）解：（Ⅰ）由f(x)?x53??lnx?，得 44x219．(本小题满分12分)
……………… 2分
⑴[解法一] ?w(1?2i)?4?3i,?w? ?z?……………… 3分
4?3i?2?i， ……3分 1?2i∴f'(1)??2又f(1)?0
5?|?i|?3?i. ……6分 2?i(a、b?R)
[解法二] 设w?a?bi∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝-2(x－1)，即2 x+y-2=0.
……………… 5分
（Ⅱ）函数f(x)?x53??lnx?的定义域为(0,??). 44x2 a?bi?4?3i?2ai?2b， 得 ??a?4?2b, ?
b?3?2a,??a?2, ?b??1,?151x2?4x?5, 由f??x???2??44xx4x2 ?w?2?i， ……3分 以下解法同[解法一].
⑵∵z?3?i是关于x的方程x2?px?q?0的一个根，∴(3?i)2?p(3?i)?q?0
令f??x??0，解得x??1或x?5.因x??1不在f?x?的定义域?0,???内，故舍去.
……………… 7分
当x??0,5?时，f??x??0,故f?x?在?0,5?内为减函数； 当x??5,???时，f??x??0,故f?x?在?5,???内为增函数； 由此知函数f?x?在x?5时取得极小值f?5???ln5.
……………… 10分
18．(本小题满分12分)
?8?3p?q?0(8?3p?q)?(6?p)i?0，∵p,q为实数，∴?解得p?6,q?10……10分
?6?p?06?62?40解方程x?6x?10?0得x??3?i
22∴实数p?6,q?10，方程的另一个根为x?3?i。……………………………………12分 20．(本小题满分12分)
解 （1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 (万件)．
因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益f(x)＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)． ……………… 5分 （2）由（1）知f(x)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)
从而f(x)′＝12x－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．
311
令f′(x)＝0，解得x＝2，或x＝6．当x变化时,f′(x), f(x)的变化情况如下：
333111111x 1 (1，) (，) 2 (222666，2) f ′(x) ＋ 0 － 递减 0 极小值 ＋ 递增 1 2
exxex解：（1）由f(x)?(x??1)得f?(x)?，x??1 2x?1(x?1)令f?(x)?0得：x?0，令f?(x)?0得：x?0,x??1
所以函数f(x)的单调增区间为(0,??)，单调减区间为(??,?1),(?1,0).--------4分
（2）由（1）知，当x?(??,?1)时，f(x)?0；当x?(?1,??)时，f(x)?0， 则f(x) 在(?1,0)为减函数，在(0,??)为增函数，
若f(x1)?f(x2)，x1?x2，则必有x1,x2?(?1,??)，不妨设x1?(?1,0),x2?(0,??).
------------------------6分
若证x1?x2?0，即证x2??x1?0，只需证：f(x2)?f(?x1) 即：f(x1)?f(?x1)， 设g(x)?f(x)?f(?x),x?(?1,0)，
exe?x??0在x?(?1,0)上恒成立，即(1?x)e2x?(1?x)?0 -----9分 即g(x)?x?11?xf(x) 0 递增 1 ……………… 10分
所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)， 所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．
……………… 12分
21．(本小题满分12分)
（1）第5个等式为: 5+6+7+8+9+10+11+12+13=92
……………… 2分
第n个等式为:n?(n?1)?(n?2)???(3n?2)?(2n?1)2，n?N*
……………… 5分
（2）①当n?1时，等式左边=1，等式右边=(2-1)2=1,所以等式成立．
……………… 6分
②假设n?k(k?N*)时，等式成立，即
k?(k?1)?(k?2)???(3k?2)?(2k?1)2(k?1,k?N?) 那么，当n?k?1时，
(k?1)?[(k?1)?1]?[(k?1)?2]???[3(k?1)?2]?(k?1)?(k?2)?(k?3)???(3k?1) ?k?(k?1)?(k?2)???(3k?2)?(3k?1)?3k?(3k?1)?k
?(2k?1)2?8k?4k2?4k?1?8k?(2k?1)2?[2(k?1)?1]2即n?k?1时等式成立．
设h(x)?(1?x)e2x?(1?x)，x?(?1,0)
h?(x)?e2x(1?2x)?1，(h?(x))???4xe2x?0 ∴h?(x)是(?1,0)上的增函数，故h?(x)?h?(0)?0
∴h(x)是(?1,0)上是减函数，故h(x)?h(0)?0，所以原命题成立. ---------12分
……………… 11分
根据（1）和（2），可知对任何n?N*，等式都成立．
……………… 12分
22．(本小题满分12分)
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