高 等 数 学 期末复习指导 （第一学期使用） 惠州学院 数学系
卫 斌 教授 编写 1
高等数学（上）期末复习指导
惠州学院数学系 卫 斌 教授
本学期我们学习了《高等数学》（上册）的第一至第六章，内容为一元函数微积分学． 根据本科生对该课程的教学要求，按章编写了期末复习指导，供同学们复习时参考． 关于期末考试的说明：
（1）期末总成绩分为两部分，平时成绩（作业、期中考试）占30﹪，期末考试成绩占70﹪（均以100分制，教务系统录入后，自动统计）．两项合计60分为及格，并取得相应学分，60分以下为不及格，可随下一届同学在相应学期补考．
（2）考试题型为：
一、填空题（共15分，每小题3分）； 二、单项选择题（共15分，每小题3分）； 三、计算题（共40分）； 四、应用题（共12分）； 五、证明题（共12分）； 六、综合题（共6分）.
下面分章复习：
考试大纲 第一章 函数与极限（25分）
编号 考点 分值 考试形式 1 求定义域. 3 选择/填空 2 极限存在与左、右极限之间的关系 6 选择/填空/计算/综合 3 用极限的四则运算求极限 6 计算 4 用两个重要极限求极限 6 计算 5 讨论连续性、判别间断点的类型 6 选择/填空/计算 6 无穷小、无穷小的阶 6 选择/填空/计算/证明 7 等价无穷小替换求极限 最值定理证明,会用介值定理讨论方程根的存在性 6 计算 8 8 证明
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（一）函数的概念
函数是高等数学（微积分）的研究对象．函数是两个数集之间的一种映射，或者说是一种对应规律f:D?R,记作y?f(x),x?D.构成函数有三因素：定义域D，对应规律f和值域；把前两者叫函数的两要素．
【例1】（选择题）：设f(x?1)?x?2x?1，则f(x)?（ ）.
(A).(x?2)； (B).x； (c).x?4x?2； (D)x.?( 解 f(x?1)?x?2x?1?(x?1)?4(x?1)?4 则 f(x)?x?4x?4?(x?2)，故选（A）．
【例2】（填空题）已知函数f(x?1)?x?1，则f(x)? ． 令 x?1?u，即x?u?1，那么
2222222222. 1)f(u)?(u?1)2?1?u2?2u?2，即
f(x)?x2?2x?2．
【例3】（选择题）下列各对函数中（ ）中的两个函数相同．
(A),f(x)?lnx,g(x)?5lnx； (B).f(x)?lnx,g(x)?2lnx； (C).f(x)?52x2,g(x)?x； (D).f(x)?(x)2,g(x)?x．
解 （A）中f(x)与g(x)的定义域都是x?0，且对应规律也相同．
【例4】（选择题）设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则复合函数（ ）是奇函数．
.? (A)ff?(；x ) (B)g.?f?(；x ) (C)f.?g?(x.；) (D)g．) ?g?(xf(x)??f?f?(x)???(x?)??.
x)??f 解 设?(x)?f?f(x)?，则?(?x)?f?f(?x【例5】若f(t)是连续的奇函数，证明
?f(t)dt是偶函数.
0x证 因为f(t)是奇函数，故f(?t)??f(t)，记 F(x)??f(t)dt，由定积分的换元
0?x积分法知 F(?x)??0t??udt??duxxxf(t)dt换元同时0 换限??f(?u)d(?u)??f(u)d(u)??f(t)d(t)?F(x),
00x所以
?f(t)dt是偶函数.
0 3
【例6】（填空题） 判断函数y?xsinxe【例7】（填空题）函数y?lg 解
cosx的奇偶性 . x3x?1的定义域是 ． ?arcsinx?25?x?00x?2?x?0或x?2?x?或??x?2???4????D????x?0?． ?3x?1??4?3??3x?1?1???1?5?1???3?x?2??5【例8】（填空题）f(x)的定义域为?0,1?，则f(lnx)的定义域是 . （二）数列的极限
1.数列极限的定量(??N)定义：对???0,?N,?n?N?xn?a??恒成立，
则称数列xn的极限是常数a，记作 limxn?a 或 xn?a,(n??)．
n?? 2.收敛数列的性质．（见讲义）定理1—4． 3.数列收敛的判别定理： 准则Ⅰ 夹逼准则
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 （三）函数的极限 1.（??X）定义；
(???)定义.（见讲义）
f(x)?lim?f(x)?A； 2.左、右极限：limf(x)?A?lim?x?x0x?x0x?x03.极限的局部保号性．
变量（数列、函数）y的极限是a的描述性定义（定性定义）：
变量y在其变化过程中，总有那么一个时刻N，y变到这个时刻以后，会无限趋近 于某个常数a，即y与a之距y?a能任意小，并保持任意小，通俗讲：就是到了“要多小有多小”，就是“小到不能说”，甚至到了“一说就不小了”的程度，但是y?a，这时我们就说，变量y以常数a为极限，记作 limy?a.
（四）无穷小与无穷大 1.无穷小
（1）定义：以零为极限的变量称为无穷小量． （2）无穷小的阶（比较）
?0,称?是比?较高阶的无穷小.记作?＝??????，称?是比?较低阶的无穷小?? lim??.
??c?0，称?与?是同阶无穷小?1，称?与?是等价无穷小?
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